Sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass es eine Primzahl p ∈ ℙ gibt mit:

Question

Aufgabe:

Sei K ein endlicher Körper, d.h. |K| < ∞. Zeigen Sie, dass es eine Primzahl p ∈ ℙ gibt mit:

(a) K enthält einen Körper, der (als Ring) zu F_p isomorph ist.

(b) K ist ein endlich dimensionaler F_p - Vektorraum.

(c) |K| = p^k für ein k ∈ ℕ.

Meine Ansätze:

(a) Ist p > 0, so ist Φ (ℤ) der kleinste Unterkörper von K. Er ist isomorph zu zum Körper F_p := ℤ/pℤ.

Bew.: Offenbar ist Φ: ℤ → K mit n → n · 1_K ein Ringhomomorphismus. Weil Φ (1) = 1_K für jeden Ringhomomorphismus Φ: ℤ → K gilt, ist Φ eindeutig bestimmt. Da K ein Integritätsring ist, ist auch Φ(ℤ) ⊆ K ein Integritätsring. Wegen Φ(ℤ) ≅ Z/Kern(Φ) ist Kern(Φ) ein Primideal von ℤ. Es folgt Kern(Φ) = {0} oder Kern(Φ) = pℤ mit einer Primzahl p. Da jeder Unterkörper von K das Einselement 1_K enthalten muss, muss er auch Φ(ℤ) enthalten, woraus die Behauptung folgt.

(b) Hier fehlt mir ein Ansatz.

(c) Es sei ℙ der Primkörper von K. Wäre nun char(K) = 0, so wäre ℙ ≅ ℚ, damit also |K| =∞. char(K) = p für eine Primzahl p und ℙ ≅ ℤ/pℤ. Wegen K < ∞ ist außerdem [K:ℙ] = k∈ ℕ. Also ist K ein Vektorraum der Dimension m über ℙ mit einer Basis B ={γ₁ , ..., γ_k }. Es ist K = {a₁ γ₁ + ... + a_k γ_k : a_i  ∈ ℙ} die Menge aller Linearkombinationen der γ₁ , ..., γ_m . Jeder Koeffizient a_i kann p Werte annehmen, woraus |K| = p^k folgt.

Answer 1

Die a) sieht soweit ganz gut aus.

Zur b):

Es ist klar, dass K mit seiner Addition eine Abelsche Gruppe ist und F_p × K → K, (a,b) ↦ab definiert eine Skalarmultiplikation, die alle geforderten Eigenschaften hat, weil die Multiplikation auf K diese Eigenschaften hat. Also ist K ein F_p-Vektorraum. Wäre dim_Fp (K) = ∞, wäre auch |K| = ∞, also ist K endlich dimensional.

Bei der c)

könntest du dir die erste Hälfte des Arguments sparen, da du das in (b) gezeigt hast, insbesondere brauchst du Begriffe wie Primkörper oder den Grad einer Körpererweiterung nicht, du kannst direkt mit der Wahl der Basis anfangen.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe.