Beweis zu Eigenwerten von quadratischen Matrizen.

Question

Aufgabe:

Habe folgende Frage:

Wir haben eine quadratische Matrix B und λ∈ℝ ist ein Eigenwert von B. Und nun will ich zeigen, dass für alle n∈ℕ gilt:

\( B^{n} \) hat den Eigenwert \( λ^{n} \)

Und wenn jetzt für ein s∈ℕ \( B^{s} \)=0 gilt. Was kann man dann über den Eigenwert von B sagen? Und wie beweise ich die Aussage dann? Hoffe mir kann jemand helfen. Danke

Hatte beim ersten Beweis an Induktion gedacht aber bin damit nicht weit gekommen...

Answer 1

Induktion ist ein guter Ansatz. Die Aussage gilt offenbar für \(n=1\).
Die Aussage gelte nun für ein \(n\ge1\).
Da \(\lambda\in\mathbb R\) ein Eigenwert von \(B\) ist, existiert ein \(v\in\mathbb R^m\) mit \(v\ne0\) und \(Bv=\lambda v\).
Es folgt$$B^{n+1}v=(B^nB)v=B^n(Bv)=B^n(\lambda v)=\lambda(B^nv)=\lambda(\lambda^nv)=(\lambda\lambda^n)v=\lambda^{n+1}v.$$Damit ist \(\lambda^{n+1}\) ein Eigenwert von \(B^{n+1}.\ \checkmark\)

Zum zweiten Teil:
Sei \(\lambda\) ein Eigenwert von \(B\) und \(v\) ein dazugehöriger Eigenvektor.
Es gilt also \(Bv=\lambda v\). Nach dem oben gezeigten gilt \(B^sv=\lambda^sv\), also \(\lambda^sv=0\).
Wegen \(v\ne0\) muss also \(\lambda^s=0\) und damit \(\lambda=0\) sein.