Beweis zu Eigenwerten von quadratischen Matrizen.

Question

Aufgabe:

Habe folgende Frage:

Wir haben eine quadratische Matrix B und λ∈ℝ ist ein Eigenwert von B. Und nun will ich zeigen, dass für alle n∈ℕ gilt:

$B^{n}$ hat den Eigenwert $λ^{n}$

Und wenn jetzt für ein s∈ℕ $B^{s}$=0 gilt. Was kann man dann über den Eigenwert von B sagen? Und wie beweise ich die Aussage dann? Hoffe mir kann jemand helfen. Danke

Hatte beim ersten Beweis an Induktion gedacht aber bin damit nicht weit gekommen...

Answer 1

Induktion ist ein guter Ansatz. Die Aussage gilt offenbar für $n=1$.
Die Aussage gelte nun für ein $n\ge1$.
Da $\lambda\in\mathbb R$ ein Eigenwert von $B$ ist, existiert ein $v\in\mathbb R^m$ mit $v\ne0$ und $Bv=\lambda v$.
Es folgt$$B^{n+1}v=(B^nB)v=B^n(Bv)=B^n(\lambda v)=\lambda(B^nv)=\lambda(\lambda^nv)=(\lambda\lambda^n)v=\lambda^{n+1}v.$$Damit ist $\lambda^{n+1}$ ein Eigenwert von $B^{n+1}.\ \checkmark$

Zum zweiten Teil:
Sei $\lambda$ ein Eigenwert von $B$ und $v$ ein dazugehöriger Eigenvektor.
Es gilt also $Bv=\lambda v$. Nach dem oben gezeigten gilt $B^sv=\lambda^sv$, also $\lambda^sv=0$.
Wegen $v\ne0$ muss also $\lambda^s=0$ und damit $\lambda=0$ sein.