Bestimmen Sie Supremum und Infimum. Zeige, dass diese Werte ebenfalls Häufungspunkte sind

Question

Bestimmen Sie für folgende reellwertige Folgen (x_n)_n∈ℕ jeweils lim sup _n→∞ xn
und lim inf sup _n→∞ xn

Zeigen Sie weiter, dass diese beiden Werte ebenfalls Häufungspunkte der Folge (x_n)_n∈ℕ sind.

a)

\( x_{n}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{n}, \text { falls } n \text { gerade } \\ 1-\frac{1}{n}, \text { sonst. }\end{array}\right. \)

b)

\( x_{n}=\frac{1}{p(n)} \)

wobei p(n) als der kleinste Primteiler von n definiert sei (sowie p(1) := 1)

Answer 1

a) lim inf x_n = 0 ; lim sup x_n = 1

Begründung: 1 / n  ist eine Nullfolge.

Daher gilt für die Teilfolge 1 / n von x_n:
lim _x→∞ ( 1 / n ) = 0 und damit ist 0 als Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ein Häufungspunkt von x_n.

Für die Teilfolge 1 - ( 1 / n ) von x_n gilt:
lim _x→∞ 1 - ( 1 / n ) = 1 und damit ist 1 als Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ebenfalls ein Häufungspunkt von x_n.
 

b) lim inf x_n = 0 ; lim sup x_n = 1 / 2

Begründung:

Der kleinste Primteiler einer geraden Zahl n ist die 2, also ist x_n = (1 / 2 ) , falls n gerade ist.
Ist die Zahl n ungerade, dann ist ihr kleinster Primteiler im "schlimmsten" Fall die Zahl n selbst. Da es keine größte Primzahl gibt, wird es also für n gegen unendlich immer wieder solche Zahlen n geben, die ihr eigener größeter Primteiler sind. Daher geht p ( n ) gegen unendlich und 1 / p ( n ) somit gegen 0.