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Aufgabe: Gegeben ist eine Polynomfunktion f (x) = ax^3 + bx^2 + cx, mit reellen Koeffizienten a, b und c . Ihr Graph hat bei x=1 ein Maximum und bei x=2 einen Wendepunkt.
Außerdem schließt er mit der x-Achse eine Fläche von 9 FE ein.
Berechnen Sie den Funktionswert (konkreten Zahlenwert!) an der Wendestelle.


Problem/Ansatz: Mein Problem ist den Ansatz zu finden wie man diese Aufgabe berechnet

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f(x)=ax³+bx²+cx

f'(x)=3ax²+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Wendepunkt bei x=2:

0=12a+2b → b=-6a

Extremum bei x=1:

0=3a-12a+c → c=9a

f(x)=ax³-6ax²+9ax

Jetzt noch das Integral berücksichtigen.

Nullstellen bestimmen:

f(x)=a*x*(x²-6x+9)=0

x=0 oder x=3

Integral von 0 bis 3 gleich 9 → a

Und zum Schluss:

f(2)= ...


:-)

Avatar von 47 k

Dankes schön, das hat mir viel weiter geholfen :)

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Hier nur noch eine Lösung zur Kontrolle:

f(x) = 4/3·x^3 - 8·x^2 + 12·x

f(2) = 8/3 = 2.667

Avatar von 477 k 🚀
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" Gegeben ist eine Polynomfunktion f (x) = ax^3 + bx^2 + cx, mit reellen Koeffizienten a, b und c . Ihr Graph hat bei x=1 ein Maximum und bei x=2 einen Wendepunkt.
Außerdem schließt er mit der x-Achse eine Fläche von 9 FE ein.

Bei x=0 Nullstelle bei x=1 Maximum bei x=2 Wendepunkt führt zu x=3 Minimum . Da ist nun auch eine doppelte Nullstelle, weil der Graph mit der x-Achse eine Fläche von 9 F E einschließt.→   Nullstellenform der kubischen Parabel.

f(x)=a*x(x-3)^2=a*x(x^2-6x+9)=ax^3 - 6a x^2+9ax

\( 9=\int \limits_{0}^{3}\left(a x^{3}-6 a x^{2}+9 a x\right) \cdot d x=\left[\frac{a}{4} \cdot x^{4}-2 a x^{3}+\frac{9}{2} a x^{2}\right]_{0}^{3}=\left[\frac{a}{4} \cdot 3^{4}-2 a \cdot 3^{3}+\frac{9}{2} a \cdot 3^{2}\right]-0= \)
\( =\frac{81}{4} a-54 a+\frac{81}{2} a \)
\( a=\frac{4}{3} \)

f(x)= \( \frac{4}{3} \)x^3-8x^2+12x

Wendepunkt:

f(2)= \( \frac{4}{3} \)*2^3-8*2^2+12*2= \( \frac{8}{3} \)


Avatar von 36 k

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