Berechnen Sie den Funktionswert (konkreten Zahlenwert!) an der Wendestelle.

Question

Aufgabe: Gegeben ist eine Polynomfunktion f (x) = ax³ + bx² + cx, mit reellen Koeffizienten a, b und c . Ihr Graph hat bei x=1 ein Maximum und bei x=2 einen Wendepunkt.
Außerdem schließt er mit der x-Achse eine Fläche von 9 FE ein.
Berechnen Sie den Funktionswert (konkreten Zahlenwert!) an der Wendestelle.

Problem/Ansatz: Mein Problem ist den Ansatz zu finden wie man diese Aufgabe berechnet

Answer 1

f(x)=ax³+bx²+cx

f'(x)=3ax²+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Wendepunkt bei x=2:

0=12a+2b → b=-6a

Extremum bei x=1:

0=3a-12a+c → c=9a

f(x)=ax³-6ax²+9ax

Jetzt noch das Integral berücksichtigen.

Nullstellen bestimmen:

f(x)=a*x*(x²-6x+9)=0

x=0 oder x=3

Integral von 0 bis 3 gleich 9 → a

Und zum Schluss:

f(2)= ...

:-)

Comments

Dankes schön, das hat mir viel weiter geholfen :)

Answer 2

Hier nur noch eine Lösung zur Kontrolle:

f(x) = 4/3·x³ - 8·x² + 12·x

f(2) = 8/3 = 2.667

Answer 3

" Gegeben ist eine Polynomfunktion f (x) = ax³ + bx² + cx, mit reellen Koeffizienten a, b und c . Ihr Graph hat bei x=1 ein Maximum und bei x=2 einen Wendepunkt.
Außerdem schließt er mit der x-Achse eine Fläche von 9 FE ein.

Bei x=0 Nullstelle bei x=1 Maximum bei x=2 Wendepunkt führt zu x=3 Minimum . Da ist nun auch eine doppelte Nullstelle, weil der Graph mit der x-Achse eine Fläche von 9 F E einschließt.→   Nullstellenform der kubischen Parabel.

f(x)=a*x(x-3)²=a*x(x²-6x+9)=ax³ - 6a x²+9ax

$9=\int \limits_{0}^{3}\left(a x^{3}-6 a x^{2}+9 a x\right) \cdot d x=\left[\frac{a}{4} \cdot x^{4}-2 a x^{3}+\frac{9}{2} a x^{2}\right]_{0}^{3}=\left[\frac{a}{4} \cdot 3^{4}-2 a \cdot 3^{3}+\frac{9}{2} a \cdot 3^{2}\right]-0=$
$=\frac{81}{4} a-54 a+\frac{81}{2} a$
$a=\frac{4}{3}$

f(x)= $\frac{4}{3}$x^3-8x^2+12x

Wendepunkt:

f(2)= $\frac{4}{3}$*2^3-8*2^2+12*2= $\frac{8}{3}$