Beweise: Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom und Minimalpolynom

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
a) Ähnliche Matrizen aus K^n×n haben dasselbe charakteristische Polynom.

b) Ähnliche Matrizen aus K^n×n haben dasselbe Minimalpolynom.

c) Ist g ∈ K[x] ein irreduzibler Teiler von χ_f , dann teilt g auch μ_f .

Erinnerung: A, B ∈ K^n×n heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix C ∈ K^n×n mit C⁻¹AC = B gibt.

Answer 1

a)  Ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante, das kannst auch auf das charakteristische Polynom anwenden, da det(A-λI) = x_f. Nehm dir also 2 ähnliche und zeig es. Und denk an die Definition von ähnlichen Matrizen A = S^-1 B S

x_A = det(A-λI) = det(S^-1 B S) =....

b) Nehme wieder zwei ähnliche Matrizen mit A = S^-1 B S wobei die Matrix S invertierbar sein soll

=> 0 = μ_A (A) = ....

fast wie oben somit zeigst du das μ_A einmal μ_B teilt und auch anders herum