Wie zeige ich, dass es eine Matrix S € GL(n;C) gibt mit der Eigenschaft S^t*A*S = (E_r 0 0 0 )?

Question

Ich komme leider bei folgender Aufgabe nicht weiter.

"Sei A^(nxn) € C eine symmetrische Matrix vom Rang r. Zeige, dass es eine Matrix S € GL(n;C) gibt mit:

S^t * A * S = ( E_r 0 0 0)"

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Answer 1

Eine Matrix lässt sich durch elementare Zeilenumformungen in reduzierte Zeilenstufenform überführen.

Hat die Matrix den Rang r, dann sind in der reduzierten Zeilenstufenform alle bis auf die ersten r Zeilen 0.

Eine elementare Zeilenumformung kann als Linksmultiplikation mit einer Elementarmatrix aufgefasst werden.

Die Rechtsmultiplikation mit der Transponierten der Elementarmatrix führt die entsprechende elementare Spaltenumformung durch.

Es gilt \((A\cdot B)^T = B^T\cdot A^T\).

Comments

Danke. Ich habe einen Satz aus dem letzten Semester, der besagt, dass es Elementarmatrizen

S_1,.........,S_k € IK^(mxm) und T_1,......,T_l € IK^(nxn) gibt, sodass

S_1,.........,S_k * A * T_1,.........,T_l = ( E_r 0 0 0).

Dann muss mir doch dieser Satz die Existenz von T_1,.......,T_l = S garantieren, oder?

Kann ich die untere Rechenregel für Transponierte Matrizen verwenden, weil A = A^t gilt?

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Dann muss mir doch dieser Satz die Existenz von T_1,.......,T_l = S garantieren, oder?

Ja.

Es stellt sich noch die Frage, warum

        S_1,.........,S_k = S^T

ist.

Grund dafür ist, dass wegen der Symmetrie von A

        S_k = T_1^T
        S_k-1 = T_2^T
        S_k-2 = T_3^T
        ...

ist, und eben daran, dass zum Beispiel wegen unterer Rechenregel

        S_k-1 · S_k = T_2^T · T_1^T = (T_1 · T_2)^T

ist.

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Ich habe den Beweis soweit fertig, nur verstehe ich das mit dem zeigen von S_t nicht. Könnten Sie mir es genauer erläutern?

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An der Matrix \(A\) wird eine Zeilenumformung mittels \(Z_1\) und die entsprechende Spaltenumformung mittels \(S_1\) durchgeführt.

Ergebnis ist die Matrix \(Z_1AS_1\).

Wegen \(Z_1 = S_1^T\) ist

      \(Z_1AS_1 = S_1^TAS_1\).

Auf dieser Matrix wird eine weitere Zeilenumformung mittels \(Z_2\) und die entsprechende Spaltenumformung mittels \(S_2\) durchgeführt.

Ergebnis ist wegen \(Z_2 = S_2^T\) die Matrix

        \(S_2^TS_1^TAS_1S_2\).

Wegen \((X\cdot Y)^T = Y^T\cdot X^T\) ist

        \(S_2^TS_1^TAS_1S_2 = \left(S_1S_2\right)^TA\left(S_1S_2\right)\).

Und so weiter.

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Verstanden! Vielen Dank.