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Sei f : R → R eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft f `(x) = f(x) fur alle ¨ x ∈ R.


Es sei g : R → R definiert durch g(x) = f(x) exp(−x).wie Berechnet man die Ableitung von g.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Ableitung können wir mittels der Produktregel bilden:

$$g'(x)=\left(\underbrace{f(x)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=v}\right)'=\underbrace{f'(x)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=v}+\underbrace{f(x)}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-e^{-x}\right)}_{=v'}=\left(\;f'(x)-f(x)\;\right)\cdot e^{-x}$$Da wir aber wissen, dass \(f'(x)=f(x)\) ist, wird die Klammer zu null, sodass die ganze Ableitung zu null wird:$$g'(x)=\underbrace{\left(\;f'(x)-f(x)\;\right)}_{=0}\cdot e^{-x}=0$$

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Eigentlich war schon alles wesentliche gesagt, nur noch nicht von jedem. Außerdem ist

Es gibt genau eine Funktion, die mit ihrer Ableitung identisch ist, nämlich \(f(x)=e^x\)

schlicht Unsinn.

Hallo,

\( f(x)=a e^{x+b} \\ \Rightarrow f'(x)=a e^{x+b} \)

:-)

Ah, ich habt Recht, ich habe die Forderung \(f(0)=1\) unterschlagen:

Die Exponentialfunktion \(f(x)=e^x\) ist die eindeutig(!) bestimmte Lösung der Differentialgleichung \(f'(x)=f(x)\) \(\underline{\text{mit dem Anfangswert \(f(0)=1\)}}\).

Danke für den Hinweis, ich nehme den Teil am besten aus der Antwort raus, wird für das Verständnis der Lösung nicht unbedingt benötigt.

Ja, und wenn du das AWP einfach ignorierst, dann hat die DGL f'(x)=f(x) aus der Frage oben die allgemeine Lösung f(x)=C*exp(x) für alle reellen Konstanten C. Setzt man das in g(x)=f(x)*exp(-x) ein, so ergibt sich nach kurzer Rechnung g(x)=C. Danach war zwar nicht gefragt, aber jetzt ist klar, warum g'(x)=0 sein muss.

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Der Funktionsterm von g ist ein Produkt. Deshalb berechnet man die Ableitung von g mit der Produktregel.

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g'(x) = f'(x)*e^-x + f(x)*(-1)*e^-x = e^-x*(f '(x)- f(x))

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g(x) = f(x)*exp(−x)

g'(x) = (f'(x)-f(x))*exp(−x)

Bis hierhin wurde nur ausgenutzt, dass f differenzierbar ist. Jetzt kann man noch f'(x)=f(x) verwenden, um zu sehen, wie g' aussieht und wie g beschaffen sein muss.

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