0 Daumen
160 Aufrufe

Es sei \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit \(f(x,a) \leq f(x,b) \:\: für \:\: alle \:\: x\geq0 \:\: und \:\: a \leq b, \:\:und \:\:es\:\:sei\:\:g:[0,\infty[\rightarrow \mathbb{R}\:\:stetig \). Zeigen Sie

a) \(wenn \:\:v(x)<g(x)+\int \limits_{0}^{x}f(t,v(t))dt\:\: und \:\:w(x)\geq g(x)+\int \limits_{0}^{x}f(t,w(t)dt\:\:für\:\:alle\:\:x\geq 0,\:\:dann\:\:v(x)<w(x)\:\:für\:\:alle\:\:x\geq 0. \)

Hinweis: Nehmen Sie an, dass \(ξ=inf\{ x\geq 0|v(x)\geq w(x)\} \) existiert, und konstruieren Sie daraus einen Widerspruch.


b) Es sei \(φ = \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Lösung der Anfangswertaufgabe

                                                                  \(y'=f(x,y), \:\: y(0)=y_0 \)

und für \(\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gelte

                                                              \(\psi' \leq f(x,\psi(x))\:\:für\:\: alle\:\: x \geq0\:\:und\:\: \psi(0)<y_0 \)

Zeigen Sie, dass \(\psi(x)<φ(x)\:\:für \:\: alle\:\: x\geq0. \)

Hinweis: verwenden Sie Teil (a).

von

Hallo

innerhalb 30Min postest du 3 Aufgaben ohne jede Zusatzaussage, was daran kannst du nicht, was hast du schon versucht usw.

Gruß lul

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie ... und Anfangswertaufgabe

Stichworte: analysis

Aufgabe:

Es sei \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit \(f(x,a) \leq f(x,b) \:\: für \:\: alle \:\: x\geq0 \:\: und \:\: a \leq b, \:\:und \:\:es\:\:sei\:\:g:[0,\infty[\rightarrow \mathbb{R}\:\:stetig \). Zeigen Sie

a) \(wenn \:\:v(x)<g(x)+\int \limits_{0}^{x}f(t,v(t))dt\:\: und \:\:w(x)\geq g(x)+\int \limits_{0}^{x}f(t,w(t)dt\:\:für\:\:alle\:\:x\geq 0,\:\:dann\:\:v(x)<w(x)\:\:für\:\:alle\:\:x\geq 0. \)

Hinweis: Nehmen Sie an, dass \(ξ=inf\{ x\geq 0|v(x)\geq w(x)\} \) existiert, und konstruieren Sie daraus einen Widerspruch.

b) Es sei \(φ = \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Lösung der Anfangswertaufgabe                                                                   \(y'=f(x,y), \:\: y(0)=y_0 \)

und für \(\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gelte

        \(\psi' \leq f(x,\psi(x))\:\:für\:\: alle\:\: x \geq0\:\:und\:\: \psi(0)<y_0 \)                                                                      

Zeigen Sie, dass \(\psi(x)<φ(x)\:\:für \:\: alle\:\: x\geq0. \)

Hinweis: verwenden Sie Teil (a).

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community