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Aufgabe:

\( 8.3 \quad(8 \text { Punkte }) \) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden AWA:
$$ \left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 x_{1}+2 x_{2} \\ 2 x_{1}+x_{2} \end{array}\right) \quad, \quad\left(\begin{array}{c} x_{1}(0) \\ x_{2}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right) $$
(Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass \( \left.\Phi(t)=e^{t A} \text { ein Fundamentalsystem für } x^{\prime}(t)=A x(t) \text { ist. }\right) \)


Problem/Ansatz:

Ich habe das meiste schon berechnet, komme jedoch an einer Stelle nicht weiter.

EIgenwerte: 5 und 0

Eigenvektoren:

\( \begin{pmatrix}  -1/2\\1 \end{pmatrix} \) für EW: 0


\( \begin{pmatrix}  2\\1 \end{pmatrix} \) für EW: 5


Jordanmatrix: \( \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)


T= \( \begin{pmatrix} 2 & -1/2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)


T-1 = 1/5 \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \)


etA  = T*etJ* T-1 = 1/5      (4* e5t+1)     (2* e5t-2)                           = Φ(t0)

                                        (2* e5t-2)          (e5t+4)


Φ(t0)= Φ(0)= 1/5 \( \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \)= Id

Das heißt Φ(t0)-1 = Id


Ab hier weiß ich nicht genau wie ich weiterrechnen soll.

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Hallo,

Du hast das Fundamentalsystem \(\exp(tA)\) berechnet. Alle Lösungen ergeben sich damit durch \(\exp(tA)v\) mit \(v \in \mathbb{R}^2\). Du musst jetzt nur noch v so wählen, dass die Anfangsbedingungen erfüllt sind, also einfach \(v=x(0)\).

Gruß

Hallo,

danke für die Antwort.

Ich dachte die Lösung hieße jetzt x(t)= etA* x(0)

oder irre ich mich hierbei bzw. ist es das was du meintest?


MfG

Ja das meine ich

Gruß

1 Antwort

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Hallo,

Nach Einsetzen der AWB in die Lösung erhalte ich:

x1= 2 e^(5x) +2

x2= e^(5x) -4

Avatar von 121 k 🚀

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