Bestimmen Sie eindeutige Lösung LGS Körper GF(7) mit der Kramerschen Regel

Question

Bestimmmen Sie die (eindeutige) Lösung des links stehenden LGS über dem Körper \( G F(7) \) mit der Kramerschen Regel und invertieren Sie die rechtstehende Matrix \( A \) über dem Körper GF(5) mit einem Verfahren Ihrer Wahl.

\( \begin{array}{l} 6 x+3 y=2 \\ 4 x+5 y=4 \end{array} \quad A=\left(\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \)

Comments

Gabriel Cramer https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer bitte mit C.

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bei a) kannst du gleich vorgehen wie: https://www.mathelounge.de/34446/benutzen-cramersche-regel-losen-reellen-gleichungssystems

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Ginge das so in die richtige Richtung?

det(A) = {{6,4},{3,5}} = ((6*5)mod 7) - ((4*3)mod 7) = 2 - 5 = -3

Aber -3 kann ja nicht stimmen. Muss ich jetzt das inverse zu 3 nehmen?

Wie das mit der cramerschen Regel geht, ist nicht das Problem. Ich verstehe nur die Sache mit dem Körper nicht.

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Du kannst entweder -3 modulo 7  betrachten und dafür 4 schreiben oder die Determinante erst berechnen und dann das Resultat modulo 7 nehmen:
30-12 = 18 mod 7 = 4.

Auch so kommt man auf 4. Ich hoffe du kommst jetzt selbst weiter. Kontrolliere deine Resultate in der ursprünglichen Gleichung.

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Okay

Ich habe allerdings noch ein weiteres Problem. Ich habe jetzt alle Determinaten wie folgt berechnet

det(A) = ({6,4},{3,5}= 30 - 12 = 18 mod 7 = 4

det(A1) = ({2,4},{3,5}) =  10 - 12 = -2 mod 7 = 5

det(A2) = ({6,4},{2,4}) = 24 - 8 = 16 mod 7 = 2

Soweit glaubte ich das jetzt verstanden zu haben, aber wenn ich jetzt


x = det(A1) / det(A) = 5 / 4

y = det(A2) / det(A) = 2 / 4


in eine der beiden Gleichungen einsetze... Dann stimmt das nicht

zum Beispiel: 4x + 5y = 4


4 * 5/4 + 5 * 2 / 4 = 30 / 4 != 4 :/

Wo liegt der Fehler? Danke für deine Hilfe!

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Könnte an den Brüchen liegen.

Was wenn du den Zähler mit modulo erhöhst, bis du eine natürliche Zahl rausbekommst?

5/4 = 12/4=3 etc. Geht das so?

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Mist! Das verstehe ich nicht, wie wird aus 5/4 = 12/4 ?

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Edit: Okay, ich glaube ich habe es verstanden


also wenn ich aus 5/4 => 12 / 4 mache

und aus 2/4 => 9/4 => 16/4 mache, dann ginge das

Das müsste man doch auch machen dürfen oder?

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Ich glaube schon, dass man das darf. Die Frage wäre höchstens, ob man da einfach einen Bruch hinschreiben darf, oder ob das mit dem multplikativen Inversen von 4 eleganter ginge.

4 * N = 1 mod 7

N=2

Answer 1

Ich glaube schon, dass man das darf. Die Frage wäre höchstens, ob man da einfach einen Bruch hinschreiben darf, oder ob das mit dem multplikativen Inversen von 4 eleganter ginge.

4 * N = 1 mod 7

N=2

und nun
x = det(A1) / det(A) = 5 *2 = 10 =3 mod7

y = det(A2) / det(A) = 2 *2= 4

in eine der beiden Gleichungen einsetze... Dann stimmt das
zum Beispiel: 4 *3 + 5*4  = 32=  4 mod 7