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Aufgabe:


pipi \int\limits_{-pi}^{pi}  22cos(t) \sqrt{2-2cos(t)} dt



Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich die Stammfunktion bilden soll und wenn ich irgendetwas versuche kommt immer 0 raus.

Muss ich hier substituieren?

Für jeden Ansatz dankbar.

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Hab ich versucht. Als Stammfunktion wird mir -4cos(x/2) angezeigt und mit den Grenzen -pi und pi kommt da nicht 8 raus was als Lösung gegeben ist, sondern 0.

Mir zeigt das Programm 8 an.

Vli. hast du einen Vorzeichenfehler gemacht.

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Aloha :)

Ich würde den Integranden zunächst ein wenig umformen:22cost=22cos(t2+t2)=2(cos2t2+sin2t2)=12(cos2t2sin2t2)=4sin2t22-2\cos t=2-2\cos\left(\frac t2+\frac t2\right)=2\underbrace{\left(\cos^2\frac t2+\sin^2\frac t2\right)}_{=1}-2\left(\cos^2\frac t2-\sin^2\frac t2\right)=4\sin^2\frac t2

Wegen x2=x\sqrt{x^2}=|x| können wir damit das Integral berechnen:I=ππ22costdt=ππ2sint2dt=π0(2sint2)dt+0π2sint2dtI=\int\limits_{-\pi}^\pi\sqrt{2-2\cos t}\,dt=\int\limits_{-\pi}^\pi\left|2\sin\frac t2\right|\,dt=\int\limits_{-\pi}^0\left(-2\sin\frac t2\right)\,dt+\int\limits_{0}^\pi2\sin\frac t2\,dtI=[4cost2]π0+[4cost2]0π=4cos04cos(π2)4cosπ2+4cos0\phantom{I}=\left[4\cos\frac t2\right]_{-\pi}^0+\left[-4\cos\frac t2\right]_0^\pi=4\cos0-4\cos\left(-\frac\pi2\right)-4\cos\frac\pi2+4\cos0I=400+4=8\phantom{I}=4-0-0+4=8

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Hallo,

Setze 2 sin2(t/2) =1 -cos(t) , dann kommst Du auf 8

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