Grenzwert zweier reeller Zahlenfolgen mit Bedingungen (für n gerade/ungerade) bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die beiden reellen Zahlenfolgen a_n & b_n

\( a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{n+2}, & & n \text { gerade } \\ 0, & & n \text { ungerade }\end{array}\right. \)
\( b_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1, & n \text { gerade } \\ \frac{n+3}{n}, & n \text { ungerade }\end{array}\right. \)

Nun soll ich den Grenzwert der Folge (a_n + b_n) bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich bin leider völlig ahnungslos wie ich überhaupt vorgehen soll. In den vorherigen Aufgaben hatten wir zum Grenzwert Brüche mit bspw. n^5 + n^4 ... und mussten dann n^5 ausklammern, so dass alle niedrigeren Potenzen gegen 0 gingen und man den Grenzwert dann relativ einfach berechnen konnte.

Hier verstehe ich schon gar nicht was mit n gerade, n ungerade gemeint ist. 1 = ungerade, 2 = gerade, 3 = ungerade, 4 = gerade? Kann mir jemand einen Ansatz nennen mit dem ich vorgehen kann? Hab versucht die Art der Aufgabenstellung zu googlen, aber ich finde so eine Aufgabe einfach nicht.

Danke & LG

Comments

an: für alle geraden n gilt: 2/(n+2), für alle ungeraden wird an immer Null

Der GW für gerade n ist 0, weil der Bruch gegen Null geht für n gg. unendlich,

für ungerade n wird an immer Null.

bn = 1+3/n : Das geht immer gg. 1 für n gg. unendlich, ebenso für ungerade n

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@Gast2016

Moin.

vielen lieben Dank, macht Sinn. In diesem Fall ist es ja also so, dass sowohl für a_n als auch b_n die jeweiligen Grenzwerte von n gerade bzw. ungerade die selben sind. Sprich

a_n für n gerade = 0, da 2/(n+2) mit n -> ∞ = 0

a_n für n ungerade = 0, da so vorgegeben

b_n für n gerade = 1, da so vorgegeben

b_n für n ungerade = 1, da (n+3)/n <=> 1+(3/n) mit n -> ∞ = 1 + 0 = 1

Und somit a_n + b_n = 0 + 1 = 1 = c_n

Wie würde sich das ganze denn verhalten, wenn a_n bzw. b_n für n gerade & ungerade nicht übereinstimmen?

Z.B. a_n für n gerade = 0

      a_n für n ungerade = 1   (<-- Wenn das z.B. so vorgegeben wäre)

Oder wäre eine Berechnung dann schlicht nicht möglich?

Danke nochmal und LG!

Answer 1

Es ist \(c_n=a_n+b_n=\begin{cases} 1+ \frac{2}{n+2}, \ \text{n gerade} \\ 1+\frac{3}{n}, \ \text{n ungerade} \end{cases}\).

Wegen \(\frac{2}{n+2}\leq \frac{3}{n}\) für alle \(n>0\) folgt \(1+\frac{2}{n+2}\leq c_n \leq 1+\frac{3}{n}\).

Offenbar gilt \(1+\frac{2}{n+2}\xrightarrow{n\to \infty} 1\) und \(1+\frac{3}{n} \xrightarrow{n\to \infty} 1\), sodass nach dem Sandwich-Lemma also \(c_n\xrightarrow{n\to \infty} 1\) folgt.

Comments

Wegen \(\frac{2}{n+2}\leq \frac{3}{n}\) für alle \(n>0\) folgt \(1+\frac{2}{n+2}\leq c_n \leq 1+\frac{3}{n}\).

danke dir erstmal! Wieso genau liegt c_n zwischen den beiden?

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Die Folge \(c_n\) liegt zwischen den beiden, da \(c_n\) sowohl im Fall \(n\) gerade, als auch \(n\) ungerade immer einen Wert zwischen den beiden Folgen annimmt.

Anders formuliert:

\(c_n=\begin{cases} 1+\frac{2}{n+2}\leq \underline{1+\frac{2}{n+2}}\leq 1+\frac{3}{n}, \ \text{n gerade} \\ 1+\frac{2}{n+2}\leq \underline{1+\frac{3}{n}} \leq 1+\frac{3}{n}, \ \text{n ungerade}\end{cases}\)

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Besten Dank!

Answer 2

Am einfachsten geht es wohl mit dem Grenzwertsatz für die Summen konvergenter Folgen: $$\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_n+b_n\right)=\lim\limits_{n\to\infty} a_n + \lim\limits_{n\to\infty} b_n = 0 + 1 = 1$$

Comments

Moin! Also es gilt ja bei b_n:

b_n für n gerade = 1, da so vorgegeben

b_n für n ungerade = 1, da (n+3)/n <=> 1+(3/n) mit n -> ∞ = 1 + 0 = 1

Sowohl für n gerade als auch ungerade ist der Grenzwert also 1 & somit gehe ich von einem Grenzwert 1 für b_n_gesamt aus.

Wie würde sich das denn verhalten, wenn b_n für n gerade = 2 (statt 1) vorgegeben wäre?

Existiert dann kein Grenzwert?

Weil dann wüsste ich schon gar nicht mehr, was ich in den "Grenzwertsatz für die Summen konvergenter Folgen" für b_n einsetzen würde.

LG!

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Wie würde sich das denn verhalten, wenn b_n für n gerade = 2 (statt 1) vorgegeben wäre?

Die Folge $$ b_{n}=\left\{\begin{array}{ll}2, & n \text { gerade } \\ \frac{n+3}{n}, & n \text { ungerade }\end{array}\right. $$ ist nicht konvergent und erfüllt daher nicht die Voraussetzungen, um den Grenzwertsatz für Summen konvergenter(!) Folgen anwenden zu können.

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Besten Dank!