E-Funktionen berechnen mit f(x)=x^2 mal e^-0,1x

Question

mir wurde die Funktion f(x)=x^2 mal e^-0,1x gegeben und dazu folgende Aufgaben gestellt:

-Ermittle die Extrem- und Wendestellen

-Welche der folgenden Funktionen ist keine Stammfunktion dieser Funktion?

F(x)=-10 mal (x^2+20x+200) mal e^-0,1x

F(x)=-(2000+200+10x^2) mal e^-0,1x

F(x)=0,1 mal (10x^2-200x+2000) mal e^-0,1x

-Berechne das Integral von 0 bis 50 f(x)dx

-Führe das Modell (also den Graphen) nach dem zweiten Wendepunkt tangential weiter.

Nun habe ich leider keine Ahnung wie ich diese Aufgaben Angehen soll.

Bei der ersten habe ich zunächst die ersten zwei Ableitungen gebildet: f´(x)=2x mal (-0,1x) mal e^-0,1 / f´´(x)=2 mal 0,01x mal e^-0,1x. Anschließend habe ich versucht die zweite Ableitung gleich 0 zu setzen indem ich auf beiden Seiten geteilt durch 2 rechne und ab da beginnt mein Problem, da ich nicht weiß, wie ich e^-0,1:2 rechne.

Bei den Stammfunktionen weiß ich nicht wie ich diese mit den Klammern auflöse, beim Integral weiß ich nur, dass ich 0 und 50 in die Stammfunktion einsetzen muss und ich habe noch nie etwas von einer tangentialen Fortsetzung gehört.

Ich hoffe Ihr könnt mir dabei helfen, vielen Dank.

Answer 1

Kurvendiskussion: f(x) = e^{- 0.1·x}·(x^2)

 

Funktion und Ableitungen

 

f(x) = e^{- 0.1·x}·(x^2)

f'(x) = e^{- 0.1·x}·(2·x - 0.1·x^2)

f''(x) = e^{- 0.1·x}·(0.01·x^2 - 0.4·x + 2)

F(x) = e^{- 0.1·x}·(-10·x^2 - 200·x - 2000)

 

Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches

 

lim (x → -∞) = ∞

lim (x → ∞) = 0

 

Y-Achsenabschnitt f(0)

 

f(0) = 0

 

Nullstellen f(x) = 0

 

x^2 = 0

x = 0

 

Extremstellen f'(x) = 0

 

2·x - 0.1·x^2 = 0

x = 0 ∨ x = 20

 

f(0) = 0 [Tiefpunkt]

f(20) = 400·e^{-2} = 54.13411329 [Hochpunkt]

 

Wendestellen f''(x) = 0

 

0.01·x^2 - 0.4·x + 2 = 0

x = 20 ± 10·√2

x = 5.857864376 ∨ x = 34.14213562

 

f(5.857864376) = 19.10182260

f(34.14213562) = 38.35369905

 

Fläche

 

∫ (0 bis 50) f(x) dx = F(50) - F(0) = -249.3040389 - (-2000) = 1750.695961

 

Tangente an den zweiten Wendepunkt legen

 

x = 20 + 10·√2

f(20 + 10·√2) = e^{- √2 - 2}·(400·√2 + 600)

f'(20 + 10·√2) = - e^{- √2 - 2}·(20·√2 + 20)

 

t(x) = - e^{- √2 - 2}·(20·√2 + 20)·(x - (20 + 10·√2)) + e^{- √2 - 2}·(400·√2 + 600)

t(x) = - 20·e^{- (√2 + 2)}·(x·(√2 + 1) - 50·√2 - 70)

t(x) = 92.59402040 - 1.588662232·x

 

Skizze