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Berechnen Sie die Länge der Spirale
$$ \vec{\gamma}:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \quad t \mapsto\left(\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{array}\right) $$
\( L(\vec{\gamma})= \)


Ich habe als erstes abgeleitet und

-sin(t)

cos(t)

0

rausbekommen. Weiter weiß ich allerdings nicht.

von

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Hallo,

...................................blob.png

von 112 k 🚀

Dankee dir !!

Ah da war ich nicht schnell genug!

Am einfachsten berechnest Du das Integral, indem Du es gar nicht berechnest, sondern die Spirale einfach abwickelst.

Das zylindrische Stück im Intervall \(t=[0;2]\) hat den Umfang \(2\) und die Höhe \(t=2\). Die stehen beide senkrecht auf einander (Pythagoras!). Folglich ist die Länge \(s_{[0;2]}\)$$s_{[0;2]} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt 2$$

@Werner, was meinst Du denn, wieviele Punkte er dafür vom Prof. bekommt ? Die wollen sicherlich die Formel sehen.

@Werner, was meinst Du denn, wieviele Punkte er dafür vom Prof. bekommt ? Die wollen sicherlich die Formel sehen.

kann schon sein, dass Du recht hast. Aber wenn ich der Prof wäre, hätte ich der Abwickel-Lösung noch einen Extra-Punkt zusätzlich gegeben!

Eine Frage hätte ich noch, weiß jemand eventuell, wie ich dann den Schwerpunkt der Spirale berechne?

Eine Frage hätte ich noch, weiß jemand eventuell, wie ich dann den Schwerpunkt der Spirale berechne?

Ja - allgemein gilt doch für den Schwerpunkt \(\vec\gamma_s\) einer Kurve \(\vec\gamma(t)\) im Raum$$\begin{aligned} \vec\gamma_s &= \frac 1{\int \text ds} \int \vec\gamma(t)\, \text ds \\&= \frac 1{\int \text ds} \int \vec\gamma(t)\left|\frac{\text d\vec\gamma}{\text dt}\right|\,\text dt\end{aligned}$$und für das \(\vec\gamma(t)\) hier gilt$$\begin{aligned}\frac{\text d\vec\gamma}{\text dt} &= \begin{pmatrix} -\sin(t)\\\cos(t) \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \left|\frac{\text d\vec\gamma}{\text dt}\right| = \sqrt 2\\ \gamma_s &= \frac {\sqrt 2}{\int \text ds} \begin{pmatrix} \int \cos(t)\,\text dt\\ \int\sin(t)\,\text dt\\ \int 1\,\text dt \end{pmatrix} \end{aligned}$$Hier ist das \(\int_0^2 \text ds = 2\sqrt 2\) (s. Antwort oben) und wenn Du nun für den Rest auch das Intervall \(t[0;\,2]\) einsetzt, kommst Du auf$$\gamma_{s[0;2]} = \frac{\sqrt 2}{2 \sqrt 2} \begin{pmatrix} \sin(2)\\ 1-\cos(2) \\ 2 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0,455\\ 0,708\\ 1\end{pmatrix}$$rein optisch kommt das hin.

Danke dir erstmal!

Wie bist du aber auf \( \sqrt{2} \) gekommen, dass habe ich nicht so verstanden und wie bist du von -sin(t), cos(t), 1 auf sin(2), 1-cos(2),2 gekommen?

ich habe nicht so genau verstanden, wie du auf \( \sqrt{2} \) gekommen bist.

so wie's bei Grosserloewe in der Antwort steht ...$$\left|\frac{\text d\vec\gamma}{\text dt}\right| = \left|\begin{pmatrix} -\sin(t)\\\cos(t)\\1 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-\sin(t))^2+\cos(t)^2 + 1^2} = \sqrt 2$$

... und wie bist du von -sin(t), cos(t), 1 auf sin(2), 1-cos(2),2 gekommen?

Integrieren und Grenzen von \(t=0\) bis \(t=2\) einsetzen$$\phantom{=}\begin{pmatrix} \int \cos(t)\,\text dt\\ \int\sin(t)\,\text dt\\ \int 1\,\text dt \end{pmatrix} = \left.\begin{pmatrix} \sin(t)\\-\cos(t) \\ t \end{pmatrix}\right|_{t=0}^2 \\ = \begin{pmatrix} \sin(2)-\sin(0)\\-\cos(2)- (-\cos(0))\\2-0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sin(2)\\ 1-\cos(2) \\ 2 \end{pmatrix}$$

achso ok verstehe und eine Frage noch bezüglich \( \begin{pmatrix} sin(2)\\1-cos(2)\\2 \end{pmatrix} \), wie kommst du darauf also, die 2 da einzusetzen?

Habe dein Kommentar erst jetzt gesehen bezüglich dieser Frage :)

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