Berechnung mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

z=r*cos(3/4π) + i*r*sin(3/4π)
mit r∈(0,∞)

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

z^4=r^4 
oder
z^4=−r^4

Problem/Ansatz:

Hier fehlt mir leider komplett der Ansatz wie ich mit der Aufgabe umgehen soll.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Liebe Grüße

Comments

Informiere Dich über die Darstellung von komplexen Zahlen mit der Exponentialfunktion oder über die Formel von Moivre.

Gruß Mathhilf

Answer 1

z = r·e^(i·3/4·pi)

z^4 = r^4·e^(4·i·3/4·pi)

z^4 = r^4·e^(i·3·pi) 

z^4 = r^4·e^(i·pi)

z^4 = r^4·(-1)

z^4 = - r^4

Answer 2

Hallo,

bei der Multiplikation komplexer Zahlen multiplizieren sich die Beträge
und addieren sich die Winkel.

Also \((r(\cos(\phi)+i\sin(\phi)))^n=r ^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))\).
Das ist die Formel von Moivre.

Gruß ermanus