Taylorpolynom 2 Ordnung bestimmen

Question

Wir betrachten eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f: R² -> R mit

f(1,-1) =9

grad_(1,-1) f= \( \begin{pmatrix} 5\\-8 \end{pmatrix} \)

Hess_(1,-1) f= \( \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} \)

Taylorpolynom 2 Ordnung im Entwicklungspunkt (1,-1) bestimmen.

Answer 1

Aloha :)

Du musst nur die gegebenen Ableitungen mit dem Vektor \(\binom{x}{y}-\binom{1}{-1}=\binom{x-1}{y+1}\) multiplizieren:

$$t_2(x;y)=9+\binom{5}{-8}\cdot\binom{x-1}{y+1}+\frac12\binom{x-1}{y+1}\begin{pmatrix}4 & 1\\1 & 6\end{pmatrix}\binom{x-1}{y+1}$$$$t_2(x;y)=9+\binom{5}{-8}\cdot\binom{x-1}{y+1}+\frac12\binom{x-1}{y+1}\binom{4(x-1)+(y+1)}{(x-1)+6(y+1)}$$$$t_2(x;y)=9+5(x-1)-8(y+1)+\frac12\left(4(x-1)^2+2(y+1)(x-1)+6(y+1)^2\right)$$$$t_2(x;y)=5x-8y-4+2(x-1)^2+(xy+x-y-1)+3(y+1)^2$$$$t_2(x;y)=6x-9y-5+xy+2(x^2-2x+1)+3(y^2+2y+1)$$$$t_2(x;y)=2x^2+3y^2+xy+2x-3y$$

Comments

Mir ist da eine Frage eingefallen, während des bearbeiten der Aufgabe und zwar irritiert mich etwas, weil in der Lösung steht

a=2

b=3

c=1

d=9

(T₂f) (x,y) = a(x-1)² + 5(x-1) + b(y+1)² -8 (y+1) + c(x-1) (y+1) + d

und nach der Lösung da oben ist

a=2

b=3

c=1

aber was ist d?

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f(1;-1) soll 9 sein.

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Müsste das aber nicht in der Lösung unten mit drinne stehen?

Also hier

\(t_2(x;y)=2x^2+3y^2+xy+2x-3y\)

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Die Musterlösung hat eine andere Form als meine Lösung. Um die Koeffizienten zu vergleichen, musst du daher eine der beiden Lösungen zunächst umformen. Den Ausdruck aus der Musterlösung:$$t_2(x;y)=2(x-1)^2+5(x-1)+3(y+1)^2-8(y+1)+(x-1)(y+1)+9$$

kann man zu "meiner" Lösung umformen:$$t_2(x;y)=2x^2+xy+2x+3y^2-3y$$

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Ah okay verstehe, Dankee dir!

Answer 2

Der Lösungsweg ist nicht anders als bei der Frage die Du vor 2 Tagen gestellt hast.

Comments

Ist mir klar, nur wo setz ich den Entwicklungspunkt ein?

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Den hast du schon gegeben: (1,-1).

Den setzt du in den Gradienten und in die Hessematrix ein. Das hast du aber auch schon gegeben.