0 Daumen
83 Aufrufe

Aufgabe:

Betrachten Sie die Abbildung f: ℤ×ℤ → ℤ, (a,b)↦4a-6b

Berechnen Sie Bild und Kern der Abbildung


Problem/Ansatz:

Könnte mir hier bitte einer weiterhelfen? Ich hab noch nicht so ganz verstanden wie das funktioniert

von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

für den Kern suchst alle Tupel \((a,b)\), so dass \(4a-6b=0\), d. h. $$\operatorname{ker}(f)=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \mid 4a-6b=0\}$$ Das ist eine lineare diophantische Gleichung, die für \((a,b)=(3k,2k)\) (wobei \(k\in \mathbb{Z}\)) erfüllt ist. Also:$$\operatorname{ker}(f)=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}: 4a-6b=0\}=\{(3k,2k)\mid k\in \mathbb{Z}\}$$ Für das Bild \(\operatorname{Bild}(f)=\{4a-6b \mid (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\}\) musst du dich fragen, für welche \(c\in \mathbb{Z}\) die Gleichung \(4a-6b=c\) erfüllt wird, d. h. welche Zahlen du durch die Linearkombination ansprechen kannst. Dies ist genau dann der Fall, wenn \(c\) durch \(\operatorname{ggT}(4,6)=2\) teilbar ist, also gilt:$$\operatorname{Bild}(f)=\{4a-6b \mid (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\}=2\mathbb{Z}=\{2z : z\in \mathbb{Z}\}$$

von 26 k

danke für die Antwort. Ich verstehe gerade nicht so ganz wie man Zahlen wie 1 oder -1zum Beispiel "ansprechen" soll.

Habe die Antwort ergänzt!

Ich hatte das eben nicht richtig. Du kannst durch die Differenz zweier gerader Zahlen auch nur gerade Zahlen erhalten.

Vielen Dank für die Hilfe

Gerne, kein Problem.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community