Zeigen Sie, dass ... eine R-Basis von V ist.

Question

Aufgabe:

Der Faktorring $V:=\mathbb{R}[X] /\left\langle X^{3}+X+1\right\rangle$ ist mit der gewöhnlichen Addition und der durch

$\mathbb{R} \times V \rightarrow V,(r, \bar{f}) \mapsto \bar{r} \cdot \bar{f}$

(wobei $f \in \mathbb{R}[X]$ und $\bar{f}$ bzw. $\bar{r}$ die Äquivalenzklasse von $f$ bzw. $r$ in $V$ bezeichne) definierten Skalarmultiplikation ein $\mathbb{R}$ -Vektorraum. (Sie brauchen dies nicht nachzuweisen.)

(a) Zeigen Sie, dass $B:=\left(\overline{1}, \bar{X}, \bar{X}^{2}\right)$ eine $\mathbb{R}$ -Basis von $V$ ist.

(b) Stellen Sie $\bar{f} \cdot \bar{g}$ als Linearkombination der Basisvektoren in $B$ dar, wobei $f=X^{10}+X^{8}+$ $X^{7}+X+1$ und $g=2 X^{2}+3 X+2$

(c) Betrachten Sie die Abbildung
$\psi: V \rightarrow V, \bar{f} \mapsto \bar{X} \cdot \bar{f}$

Sie dürfen (ohne Beweis) annehmen, dass die Abbildung wohldefiniert und $\mathbb{R}$ -linear ist. Berechnen Sie die Matrixdarstellung $M_{B, B}(\psi)$ von $\psi$.

Answer 1

Kann es sein. dass R[x] nur bis X² geht, oder ist die Basis (1,x.X².....xⁿ)? sonst kannst du f, g   nicht in der Basis darstellen.

b) einfach die beiden Vektoren multiplizieren,

d) bestimme die Bilder der Basisvektoren

Gruß lul

Comments

In der Aufgabenstellung ist es so wie hier.

b) Was genau meinst du damit?

c) Könntest du mir das vielleicht nochmal zeigen?

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Hallo

b) f*g bilden oder f und g als Vektoren schreiben und das skalarprodukt bilden

d) Beispiel x¹¹+5x²  ist e₁₁+5e₂ =(0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,5))wenn die e mit e₀ =1anfangen

lul