Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keines der Ereignisse A, B, C eintritt.

Question

Aufgabe:

In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, E, p) werden Ereignisse A, B, C ∈ E betrachtet, von
denen bekannt ist, dass p(A) = 1/2 p(B ∪ C) = 1/3
gilt sowie, dass A und B ∪ C unabhängig
sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keines der Ereignisse A, B, C eintritt.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir recht unsicher.

An sich könnte man ja die gesamte wshk für das Eintreten von (A u b u C) berechnen, das müsste an sich ja = 1 sein, würde man dann das Gegenereignis bestimmen wollen, würde man 1 - p(...) rechnen, das wäre dann ja = 0, somit wäre die Wahrscheinlichkeit für das Nicht Eintreten der Ereignisse = 0. Ich bin mir aber unschlüssig, ob der Weg bzw. die Idee richtig ist.

Answer 1

Selbst wenn A mit (B ∪ C) disjunkt wäre, könnte die Wahrscheinlichkeit von A ∪ B ∪ C maximal 1/2 + 1/3=5/6 werden, also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten von A, B und C mindestens 1/6.

Nun gilt aber wegen der Unabhängigkeit von A und (B ∪ C), dass P( A ∩ (B ∪ C))=1/6 ist.

Damit wird die vorhin nach unten abgeschätzte Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten von A, B und C sogar noch größer.

Answer 2

Wer sagt das A B und C den gesamten Wahrscheinlichkeitsraum abdecken müssen? Solange das nicht der Fall ist ist P(A oder B oder C) nicht 1.

Ich komme übrigens bei meinen Berechnungen auf

P(nicht(A oder B oder C)) = 1/3

Comments

Ich auch ...

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Wie lautet euer Ansatz?

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a = P(A) ; b = P(B) ; c = P(C)

P(A oder B oder C) = a + c + b - a·b - a·c - b·c + a·b·c

P(nicht(A oder B oder C)) = 1 - a - b - c + a·b + a·c + b·c - a·b·c

mit a = 1/2 ergibt sich

P(nicht(A oder B oder C)) = 1/2·(1 - (b + c - b·c))

Oh nanu

P(B oder C) = b + c - b·c = 1/3

Das setzen wir auch noch ein

P(nicht(A oder B oder C)) = 1/2·(1 - 1/3) = 1/2·2/3 = 1/3

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Jetzt sieht man auch was dahinter steckt

P(nicht(A oder B oder C)) = P(nicht A)·P(nicht(B oder C))

P(nicht(A oder B oder C)) = (1 - P(A))·(1 - P(B oder C))

P(nicht(A oder B oder C)) = (1 - 1/2)·(1 - 1/3)

P(nicht(A oder B oder C)) = 1/2·2/3

P(nicht(A oder B oder C)) = 1/3

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Danke. :))

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Answer 3

Ich halte Deine Lösung für richtig.

Comments

Dazu müsste \(A \cup B \cup C = \Omega\) gelten. Wie lässt sich das begründen?

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Wenn nicht, dann gilt natürlich das in den anderen Antworten.