ich glaube, du meinst in etwa das richtige, aber mathematisch hast du es unsauber aufgeschrieben. Deine Äquivalenzrelation ist nämlich folgendermaßen definiert:
(a,b)∼(c,d)⟺∃λ∈(R∖{0}) : (ab)=(λcλd).
Nun wollen wir zeigen, dass es tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist. Dazu müssen wir die Axiome nachweisen, die du bereits in einem anderen Kommentar verfasst hast. Fangen wir mit der Reflexion an.
(a,b)∼(a,b) ist klar, wenn wir λ=1 setzen.
Symmetrie:
(a,b)∼(c,d)⟺∃λ∈(R∖{0}) : (ab)=(λcλd)=λ(cd)
Da λ∈(R∖{0}), können wir durch λ teilen. Mit δ : =λ−1∈R erhalten wir dann
∃δ∈(R∖{0}) : (δaδb)=(cd)⟺(c,d)∼(a,b).
Bleibt noch die Transitivität: Es sei (a,b)∼(c,d) und (c,d)∼(e,f). Damit gibt es λ,γ∈(R∖{0}) mit
(ab)=(λcλd)
und
(cd)=(γeγf).
Wir erhalten damit dann
(ab)=(λcλd)=(λ(γe)λ(γf))=((λγ)e(λγ)f)=δ : =λγ(δeδf).
Dies ist äquivalent dazu, dass (a,b)∼(e,f).
q.e.d.
Lg