Äquivalenzrelation zeigen und Äquivalenzklassen skizzieren

Question

Aufgabe:

Sei E=R²\{(0,0)} die Menge aller Punkte der reellen Ebene ohne Nullpunkt

(x₁,y₁)~(x₂,y₂) ⇔ es existiert ein λ∈ℝ, λ≠0 so dass gilt: (x₁,y₁)=(λx₂,λy₂)

(a) Zeigen, dass Äquivalenzrelation gilt

(b) Äquivalenzklassen skizzieren: [(1,1)],[(1,-1)],[(-1,1)]

Problem/Ansatz:

Ich hätte diese Lösung dazu:

(a)

Refl.: (x₁,y₁)~(x₁,y₁) da x₁y₁=x₁y₁ 

Sym.: (x₁,y₁)~(x₂,y₂) → (x₂,y₂)~(x₁,y₁) da x₂y₂=x₁y₁

Trans.: (x₁y₁)~(x₂y₂) → x₁y₁=x₂y₂, (x₂,y₂)~(x₃,y₃) → x₂y₂=x₃y₃, also auch (x₁,y₁)~(x₃,y₃)

(b)

[(1,1)] = {(x,y) ∈ ℝ² | x=1 oder y=1}

[(1,-1)] = {(x,y) ∈ ℝ² | -1/x}

[(-1,1)] = {(x,y) ∈ ℝ² | x/-1}

Wäre das richtig so?

Comments

Hallo,
deine Interpretation der Relation ist ganz falsch. Überlege es dir
nochmal ....
Warum weichst du von der Definition ab ?
Gruß ermanus

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Ich habe die Regeln für zum bestimmen der Äquivalenzrelation benutzt:

Für Reflexiv gilt: Für alle a ∈ M gilt a ~ a

Für Symmetrie gilt: Sind a,b ∈ M mit a ~ b, so gilt auch b ~ a

Für Transitivität gilt: Sind a,b,c ∈ M mit a ~ b und b ~ c, so gilt auch a ~ c

Und ich dachte ich hätte das auch so gemacht bei dem (x₁,y₁)~(x₂,y₂)? Ich verstehe nicht wie man das dann für den ganzen Term zeigen soll, vor allem nicht mit dem Symbol. Sonst haben wir das ohne solche Symbole gelernt.

Wie müsste es dann gemacht werden für so eine Aufgabe?

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Helfe dir morgen weiter :-)

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Vielen Dank! :)

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Kannst du mir noch bitte helfen bzw es erklären? :)

Answer 1

ich glaube, du meinst in etwa das richtige, aber mathematisch hast du es unsauber aufgeschrieben. Deine Äquivalenzrelation ist nämlich folgendermaßen definiert:

$(a,b) \sim (c,d) \iff \exists \lambda \in (\mathbb{R}\setminus \{0\}): \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda c \\ \lambda d\end{pmatrix}$.

Nun wollen wir zeigen, dass es tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist. Dazu müssen wir die Axiome nachweisen, die du bereits in einem anderen Kommentar verfasst hast. Fangen wir mit der Reflexion an.

$(a,b) \sim (a,b)$ ist klar, wenn wir $\lambda = 1$ setzen.

Symmetrie:

$(a,b) \sim (c,d) \iff \exists \lambda \in (\mathbb{R}\setminus \{0\}): \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda c \\ \lambda d\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$

Da $\lambda \in (\mathbb{R}\setminus \{0\})$, können wir durch $\lambda$ teilen. Mit $\delta := \lambda^{-1} \in \mathbb{R}$ erhalten wir dann

$\exists \delta \in (\mathbb{R}\setminus \{0\}): \begin{pmatrix} \delta a \\ \delta b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \iff (c,d) \sim (a,b)$.

Bleibt noch die Transitivität: Es sei $(a,b) \sim (c,d)$ und $(c,d) \sim (e,f)$. Damit gibt es $\lambda, \gamma \in (\mathbb{R}\setminus \{0\})$ mit

$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda c \\ \lambda d \end{pmatrix}$

und

$\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma e \\ \gamma f \end{pmatrix}$.

Wir erhalten damit dann

$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda c \\ \lambda d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda (\gamma e) \\ \lambda (\gamma f) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\lambda \gamma) e \\ (\lambda \gamma) f \end{pmatrix} \stackrel{\delta := \lambda \gamma}{=} \begin{pmatrix} \delta e \\ \delta f \end{pmatrix}$.

Dies ist äquivalent dazu, dass $(a,b) \sim (e,f)$.

q.e.d.

Lg

Comments

Vielen herzlichen Dank!!

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Habe den Beweis zur Transitivität ergänzt.

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An denjenigen hier, der diese Frage als Duplikat markiert hat: Das ist kein Duplikat, es werden ganz andere Äquivalenzrelationen betrachtet.

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Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe! Das hat mir sehr geholfen :)

Answer 2

Hallo

leider sind ausser Reflexiv (wo du auch nicht λ=1 angibst), kein Punkt richtig.

aus  (x1,y1)~(x2,y2)  also (x1,y1)=(λx2,λy2) folgt etwa mit λ=2: (1,3)~(2,6) und 1*3≠2*6 also ist (x2,y2)~(x1,y1) da x2y2=x1y1 falsch!

zu (1,1) sind alle (r,r) bzw ( λ,λ) äquivalent das ist also di Äquivwlwnzklsse mit (1,1) als Repräsentant .

Gruß lul

Comments

aus (x1,y1)~(x2,y2)  also (x1,y1)=(λx2,λy2) folgt etwa mit λ=2: (1,3)~(2,6) und 1*3≠2*6 also ist (x2,y2)~(x1,y1) da x2y2=x1y1 falsch!

Ist das dann für die Symmetrie? Wie würde es dann für die anderen beiden aussehen?

zu (1,1) sind alle (r,r) bzw ( λ,λ) äquivalent das ist also di Äquivwlwnzklsse mit (1,1) als Repräsentant .

Wie genau meinst du das? Bzw. wie würde man das dann formal angeben?