Suche parameterfreie Gleichung der Ebene durch P(2,1,-1) senkrecht auf Schnittgeraden von E1 und E2.

Question

$$ Bestimmen\quad sie\quad eine\quad parameterfreie\quad Gleichung\quad der\quad durch\quad die\quad nachfolgenden\quad Angaben\quad jeweils\quad festgelegten\quad Ebene\quad E:\quad \\ a)\quad In\quad E\quad liegen\quad die\quad Punkte\quad P1=(0,0,1)\quad P2=(1,-1,0)\quad und\quad P3\quad (-2,1,1)\\ b)\quad In\quad E\quad liegt\quad der\quad Punkt\quad P0=(1,-2,1)\quad und\quad der\quad Ortsvektor\quad \vec { OP0 } \quad ist\quad senkrecht\quad zu\quad E\quad gerichtet\\ c)\quad In\quad E\quad liegt\quad der\quad Punkt\quad P0=(2,1,-1)\quad und\quad die\quad Schnittgerade\quad g\quad der\quad Ebenen\quad 2x+y-z=3\quad und\quad x+2y+z=2\quad steht\quad senkrecht\quad auf\quad E $$

Lösung soll sein:

a) x+2y-z+1=0

b) x-2y+z-6=0

c) x-y+z=0

Answer 1

Parameterform:

E :  r = P1 + p * ( P2 - P1 ) + q ( P3 - P1 ) = ( 0 , 0 , 1 ) + p * ( 1 , - 1 , - 1 ) + q * ( - 2 , 1 , 0 )
Zunächst in Normalenform umformen. Dazu Kreuzprodukt n der Richtungsvektoren bilden:

n = ( 1 , - 1 , - 1 ) x ( - 2 , 1 , 0 ) = ( 1 , 2 , - 1 )

=> Normalenform:

E : n * ( x - P1 ) = 0

E : ( 1 , 2 , - 1 ) * ( ( x , y , z ) - ( 0 , 0 , 1 ) ) = 0

Nun in Koordinatenform umformen ( koordiantenweise ausrechnen):

E : x1 + 2 y - ( z - 1 ) = 0

E : x1 + 2 y -z + 1 = 0


b) Normalenform aufstellen:

E : ( 1 , - 2 , 1 ) * ( ( x , y , z ) - ( 1 , - 2 , 1 ) ) = 0

E : 1 * ( x - 1 ) + ( - 2 ) * ( y - ( - 2 ) ) + 1 * ( z - 1 ) = 0

E : x - 2 y + z - 1 - 4 - 1 = 0

E : x - 2 y + z - 6 = 0

c) Kommt später , sorry ...

Comments

kannst du mir sagen wie c) funktioniert?

Answer 2

Fett: Vektoren.

c)        Richtung der Schnittgeraden a

a= n1 x n2 = (2,1,-1) x (1,2,1) = (1+2, -(2+1), 4-1) = (3,-3,3) 

noch durch 3 teilen:  a/3 =  (1,-1,1) 

Ansatz

E: x-y+z = d

P(2,1,-1) einsetzen

2 -1-1= 0 ==> d=0

E: x-y+z =0

a) und b) hat ja JotEs schon gerechnet.

'parameterfreie' Ebenengleichungen heissen in der Regel Koordinatengleichungen einer Ebene.

Comments

warum durch 3 teilen?

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Du brauchst ja nur die Richtung und nicht eine künstlich langen Vektor.