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Bilde von einer der Ebenen die Koordinatenform, etwa von \(E1\):
$$\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\cdot(-1)-3\cdot(-4)\\3\cdot1-3\cdot(-1)\\3\cdot(-4)-4\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\6\\-16\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}4\\3\\-8\end{pmatrix}$$Damit lautet die Koordinatengleichung für \(E1\):$$E1\colon\;4x+3y-8z=0$$
Aus der Parameterdarstellung von \(E2\) entnehmen wir die Koordinaten \(x\), \(y\) und \(z\):$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\4\\-1\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-3u\\4t\\1-t+u\end{pmatrix}$$
und setzen sie in die Koordinatengleichung für \(E1\) ein:$$0\stackrel!=4(2-3u)+3\cdot4t-8(1-t+u)=20t-20u\implies 20u=20t\implies u=t$$
Damit haben wir die Schnittgerade gefunden:
$$g\colon\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\4\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$$
