eindeutige Lösung von beschränkte stetig differenzierbare Funktion

Question

Aufgabe:

zeigen, es gibt eindeutige beschränkte stetige differenziertere Funktion f:(-1,1)→ℝ, so dass für alle x ∈(-1,1) gilt:$$f(0)=2,\quad \frac{\text df(x)}{\text dx}= \sin\left(\frac x3\cdot \left(f\left(\frac x3\right)+f\left(\frac{2x}3\right)\right) \right)$$

Problem/Ansatz:

hallo, wie zeigt man dem, kann man irgendwie mit banachschen Fixpunktsatz arbeiten?

hat jemand einen Ansatz?

Comments

ich denke, hier könnte der Satz von Picard Lindelöf weiterhelfen. Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

es geht mit einer Variation des Satzes von Picard-Lindelöf, also mit dem Banachschen Fixpunktsatz.

Definiere:

$$D:=\{f \in C[-1,1] \mid \forall x \in [-1,1]: f(x) \in [1,3]\}$$

Also ist D gerade die abgeschlossene Kugel um die konstante Funktion $f(x)=2$ mit Radius 1 im Raum $C[-1,1]$ mit der sup-Norm. Dazu definieren wir den Operator:

$$T:D \to D, \quad T(f)(x):=2+\int_0^x \sin\left(\frac{t}{3}[(f(\frac{t}{3})+f(\frac{2t}{3})]\right) dt$$

Weil die Funktionswerte des sin in [-1,1] liegen, sieht man, dass T in der Tat nach D abbildet.

Zur Kontraktion: Es gilt wegen des Mittelwersatzes $|\sin(s)-\sin(t)| \leq |s-t|$. Daher gilt für Funktionen f,g:

$$|\sin\left(\frac{t}{3}[(f(\frac{t}{3})+f(\frac{2t}{3})]\right)-\sin\left(\frac{t}{3}[(g(\frac{t}{3})+g(\frac{2t}{3})]\right)|$$

$$\leq \frac{|t|}{3}[|f(\frac{t}{3})-g(\frac{t}{3})|+|f(\frac{2t}{3})-g(\frac{2t}{3})|] \leq \frac{|t|}{3} \cdot 2 \|f-g\|_{\infty}$$

Nutzt man dies für die Operator-Werte, so erhält man:

$$\|T(f)-T(g)\|_{\infty} \leq \frac{1}{3} \|f-g\|_{\infty}$$

Also liegt eine Kontraktion vor.

Gruß Mathhilf

Comments

vielen Danke, ich habe eine kurze Frage,  bei x ist die Denitionsbereich ein offene Intervall sowie Definitionsbereich von x, kann man trotzdem so beweisen?

und beim letzten Schritt könnten Sie bitte ausführlich erklären, woher 1/3 kommt?

Danke sehr!

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Hallo,

wir haben die Existenz einer Lösung der Integralgleichung nachgewiesen. Darauf folgt durch Differentiation die ursprüngliche Differentialgleichung. Allerdings darf man Funktionen nur im Inneren ihres Definitionsbereichs differenzieren. Also die Lösung der Integralgleichung ist auf [-1,1] definiert und die der Differentiatlgleichung auf (-1,1).

Die Berechnung der Lipschitzkonstante für positive x<=1:

$$|T(f)(x)-T(g)(x)| = |\int_0^x (\sin(...f...)-\sin(...g...)) dt|$$

$$\leq \int_0^x |\sin(...f...)-\sin(...g...))| dt \leq \int_0^x \frac{2}{3}t\|g-f\|_{\infty}$$

$$=\frac{1}{3}x^2\|g-f\|_{\infty} \leq \frac{1}{3}\|g-f\|_{\infty}$$

Analog für negative x.

Gruß Mathhilf