Ordnung einer Gruppe herausfinden

Question

Es sei \( K \) ein Körper mit drei Elementen, \( K=\{0,1,2\} \). Sei \( G \) die Gruppe der invertierbaren \( (2 \times 2) \)-Matrizen über \( K \) der Form \( \left(\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \) mit \( a, b, c \in K . \) Weiter sei \( H \) die Untergruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen von \( G \).

a) Welche Ordnungen haben die Gruppen \( G \) und \( H ? \) Begründen Sie Ihre Antworten.

Wie ist die vorgehensweise um die Ordnung einer Gruppe herauszufinden ?

Answer 1

Eine Matrix liegt in \(H\), wenn die Determinante \(ac\neq0\) ist,

d.h. für \(a\neq0\) und \(c\neq 0\). Das sind \(2\cdot 2\) Möglichkeiten,

also hat \(H\)  4 Elemente. Bei \(G\) hat man dieselbe Determinante,

kann aber zusätzlich über \(b\) frei verfügen, also hat

\(G\) ???? viele Elemente.

Comments

danke für die antwort können sie mir erläutern wieso 2x2 möglichkeiten ?

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Klar! \(a\) kann 1 oder 2 sein. \(c\) kann 1 oder 2 sein.

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ah natürlich das macht sinn

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dann kann b 0,1,2 sein also 3*2*2

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Genau ;-)
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