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Hallo zusammen :)


Die Aufgabe lautet:

Sind die Vektoren v1 = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\2 \end{pmatrix} \), v2 = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\-1\\1 \end{pmatrix} \), v3 = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\2\end{pmatrix} \) linear unabhängig?

a) über ℝ?

b) über ℤ3? Finden Sie Basen für ⟨v1, v2, v3⟩ in ℝ4 und in (ℤ3)4 und ergänzen Sie diese zu Basen für ℝ4 und (ℤ3)4.

Bei der a) habe ich das Gauss-Verfahren angewendet und es kam eine Nullzeile raus. Daraus habe ich geschlossen dass die Vektoren linear unabhängig sind.

Bei der b) würde ich auch einfach das Gauss-Verfahren anwenden jedoch modulo 3 rechnen, liege ich da richtig?

Bei der letzten Frage habe ich leider überhaupt keinen Ansatz. Wie finde ich die richtigen Basen?


Danke schonmal für eure Hilfe !:)

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1 Antwort

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Hallo ich sehe keine Nullzeile, also rechne lieber vor, ja Gauss mod 3 ist richtig

für die Basis erfindest du zu der Anzahl linear unabhängiger nich soviel unabhängige dazu, dass du vier hast, oft lohnt es sich zu sehen ob man einfach 2 StandarsBasis Vektoren dazu nehmen kann oder welche die senkrecht zu den gegebenen sind.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Ok, danke.

Zu der a):

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\  2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Hallo

du hast die Vektoren als Spalten geschrieben, es bleiben 3 Spalten die nicht 0 sind also sind die 3 linear unabhängig,. du musst nur noch einen dazufinden für eine Basis.

Gruß lul

Ist die b) auch richtig?


\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)


Die Vektoren sind über ℤ3 also linear abhängig.

Sieht sehr gut aus. Also richtig  Gruß lul

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