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Es sei K K ein Körper mit drei Elementen, K={0,1,2} K=\{0,1,2\} . Sei G G die Gruppe der invertierbaren (2×2) (2 \times 2) -Matrizen über K K der Form (ab0c) \left(\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) mit a,b,cK. a, b, c \in K . Weiter sei H H die Untergruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen von G G .


a) Welche Ordnungen haben die Gruppen G G und H? H ? Begründen Sie Ihre Antworten.

Wie ist die vorgehensweise um die Ordnung einer Gruppe herauszufinden ?

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Eine Matrix liegt in HH, wenn die Determinante ac0ac\neq0 ist,

d.h. für a0a\neq0 und c0c\neq 0. Das sind 222\cdot 2 Möglichkeiten,

also hat HH  4 Elemente. Bei GG hat man dieselbe Determinante,

kann aber zusätzlich über bb frei verfügen, also hat

GG ???? viele Elemente.

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danke für die antwort können sie mir erläutern wieso 2x2 möglichkeiten ?

Klar! aa kann 1 oder 2 sein. cc kann 1 oder 2 sein.

ah natürlich das macht sinn

dann kann b 0,1,2 sein also 3*2*2

Genau ;-)
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