Wieso treffe ich IMMER den falschen Annahmebereich? Signifikanztest

Question

Aufgabe: Wieso treffe ich IMMER den falschen Annahmebereich? Signifikanztest

Problem/Ansatz:

Signifikanzniveau 5%, Stichprobenumfang: 50, Ho=1/3

Gesucht: Annahmebereich vom rechtseitigen Test, Lösung (0,22)

Meine Lösung 23,2 abgerundet 23 (0,23)

Wie ist das zu erklären??

So habe ich gerechnet:

1.Erwartungswert,
2. Standardabweichung

3. Formel 5 benutzt.

Comments

Aufgabe fehlt.

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4 Die Nullhypothese $H_{0}: p=\frac{1}{3}$ wird getestet (Signifikanzniveau $5 \%$, Stichprobenumfang 50$)$.
a) Bestimmen Sie für einen rechtsseitigen Test den Annahmebereich.
Wie groB ist die Wahrscheinlichikeit für den Fehler 1. Art? Wie groB ist die Irrtumswahrscheinlichkeit? Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit $p=0,4$ $(p=0,6)$ ist?
b) Bestimmen Sie für einen zweiseitizen Test den Annahmebereich......

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Die vollständige Aufgabe fehlt noch immer. Geht es um einen Anteilswert? Steht wahrscheinlich bei den Aufgaben < 4. Der hier vergebene Titel liefert auch keine klaren Hinweise sondern enthält eine weitere Frage, die aber mathematisch nicht beantwortet werden kann.

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Die angegebenen Formeln liefern die Grenzen von Annahmebereichen für zweiseitige Tests. Aufgabe 4.a) fordert einen rechtsseitigen Test.

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Zeit zu überprüfen
4 Die Nullhypothese $H_{0}: p=\frac{1}{3}$ wird getestet (Signifikanzniveau $5 \%$, Stichprobenumfang 50$)$.
a) Bestimmen Sie für einen rechtsseitigen Test den Annahmebereich.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit $p=0,4$ $(p=0,6)$ ist?
b) Bestimmen Sie für einen zweiseitigen Test den Annahmebereich.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit $\mathrm{p}=0,4(\mathrm{p}=0,2)$ ist?
c) Bearbeiten Sie die Teilaufgaben a) und $b$ ) für einen Stichprobenumfang von 100 . Was können Sie sagen, wenn man den Stichprobenumfang noch weiter erhöht?

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Was meine Frage oben nicht beantwortet (die Frage ist das vor dem Fragezeichen).

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@dö: Was soll denn an der Aufgabe fehlen?

Answer 1

Achtung: Du hast einen rechtsseitigen Test!

50·1/3 + 1.645·√(50·1/3·2/3) = 22.15 

und damit ist der Annahmebereich [0 ; 22]

Comments

Formel 4 oder die 1 Sigma Regel berechnen die Werte innerhalb von 90%. Das Signifikanzniveau beträgt aber 5% weshalb ich die 2 Sigma Regel angewant habe.

Diesen rechtsseitigen Test habe ich mit der Formel Nummer 5 berechnet und es stimmte.

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Formel 4 oder die 1 Sigma Regel berechnen die Werte innerhalb von 90%. Das Signifikanzniveau beträgt aber 5% weshalb ich die 2 Sigma Regel angewant habe.

Ich wiederhole mich: Die Formeln, die du da verwendest, sind für zweiseitige Tests gedacht. Bei einseitigen Tests benötigst du andere Radien für die Sigma-Intervalle.

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Rechne doch die Aufgabe aus dem Video durch

100·0.3 + 1.645·√(100·0.3·0.7) = 37.54 → Annahme [0 ; 38]

100·0.3 + 1.96·√(100·0.3·0.7) = 38.98 → Annahme [0 ; 39]

Bei einem einseitigen Test nimmt man beim Signifikanzniveau 1.645·Sigma.

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Achso. Ich kannte einfach nicht diese Tabelle und dachte es wird mit der gleichen Formel beim zweiseitigen und einseitigen Test gerechnet. Achso. Danke.

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Die Tabelle steht sechs Seiten früher im Buch als die Aufgabe...

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Ja, mein Fehler. Kurze Frage noch zur Aufgabe 3b.

Dort wird nach einem zweiseitigem Test gefragt. Mit dem Intervall 1,96 * Standardabweichung (Formel 5) hab ich 10.1 raus, was also 11 sein musste, da nicht abgerundet werden kann. Die einzige Erklärung wäre also 2* Standardabweichung (Formel 2) wurde benutzt.

Ist das korrekt? Wäre das nicht falsch, da Formel 2 bei Signifikanzniveau  5 % falsch wäre oder ist das zu kleinlich?

Sigma-Regeln
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$, dem Erwartungswert $\mu=n \cdot p$ und der Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot(1-p)}$ erhält man folgende Näherungen:
1. $\mathrm{P}(\mu-\sigma \leqq \mathrm{X} \leqq \mu+\sigma) \approx 68,3 \%$
4. $P(\mu-1,64 \sigma \leqq X \leq \mu+1,64 \sigma) \approx 90 \%$
2. $P(\mu-2 \sigma \leq X \leqq \mu+2 \sigma) \approx 95,4 \%$
5. $P(\mu-1,96 \sigma \leq X \leqq \mu+1,96 \sigma) \approx 95 \%$
3. $P(\mu-3 \sigma \leq X \leqq \mu+3 \sigma) \approx 99,7 \%$
6. $\mathrm{P}(\mu-2,58 \sigma \leqq \mathrm{X} \leqq \mu+2,58 \sigma) \approx 99 \%$
Fig. 2

.

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[50·(1/3) - 1.96·√(50·(1/3)·(1 - 1/3)); 50·(1/3) + 1.96·√(50·(1/3)·(1 - 1/3))] = [10.13333333; 23.2]

Hier wird eigentlich immer regulär gerundet und die Ergebnisse ergeben den Annahmebereich also [10 ; 23].

Answer 2

Die Nullhypothese $H_{0}: p=\frac{1}{3}$ wird getestet (Signifikanzniveau $5 \%$, Stichprobenumfang 50$)$.a) Bestimmen Sie für einen rechtsseitigen Test den Annahmebereich.

Diese Teilaufgabe ist in sich widersprüchlich.

Die Nullhypothese $H_{0}: p=\frac{1}{3}$

erfordert zwangsläufig einen zweiseitigen Test.

Wenn der Test rechtsseitig sein soll, hätte die Nullhypothese $H_{0}: p \le \frac{1}{3}$ lauten müssen.

Comments

Hier die ganze Aufgabe:

Zeit zu überprüfen4 Die Nullhypothese $H_{0}: p=\frac{1}{3}$ wird getestet (Signifikanzniveau $5 \%$, Stichprobenumfang 50$)$.a) Bestimmen Sie für einen rechtsseitigen Test den Annahmebereich.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit $p=0,4$ $(p=0,6)$ ist?b) Bestimmen Sie für einen zweiseitigen Test den Annahmebereich.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit $\mathrm{p}=0,4(\mathrm{p}=0,2)$ ist?c) Bearbeiten Sie die Teilaufgaben a) und $b$ ) für einen Stichprobenumfang von 100 . Was können Sie sagen, wenn man den Stichprobenumfang noch weiter erhöht?

In der Lösung wurde nur die rechte Grenze ausgerechnet (0,22).

Ich komme auf 23,2 wie dargelegt. Keine Ahnung warum.

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Wenn der Test rechtsseitig sein soll, hätte die Nullhypothese $H_{0}: p \le \frac{1}{3}$ lauten müssen.

Das ist zwar richtig, macht aber für die Rechnung keinen Unterschied. Daher formuliert das Buch die Nullhypothesen auch durchgehend so, wie in dieser Aufgabe.

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Linke Seite: 50/3-1.96*10/3=10.1333

Aufgerundet macht das (11,23) womit ich immernoch falsch liege.

Lösungen:

Kapitel VIII, Zeit zu überprüfen, Seite 310
4
a) $A=[0 ; 22]$
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art = Irrtumswahrscheinlichkeit: $\approx 4,24 \%$
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2 . Art:
$F_{50 ; 0,4}(22) \approx 0,7660$ bzw. $F_{50 ; 0,6}(22) \approx 0,0160$

b) $A=[10 ; 23]$;
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art: $=3,49 \%$
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art:
$F_{50,0,4}(23)-F_{50,0,4}(9)=0,8431$ bzw. $F_{\operatorname{seg}_{2}}(23)-F_{\sec 2}(9)=0,5563$
c) Teilaufgabe a): $A=[0 ; 41]$
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1 . Art - Irrtumswahrscheinlich keit: $=4,34 \%$
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2 . Art:
$F_{100,0,4}(41)=0,6225$ bzw. $F_{100,4},(41)=0,0001$
Teilaufgabe b): $A=[24 ; 43]$ :
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1 . Art: $=3,33 \%$
Wahrscheinlichikeit für den Fehler 2. Art:
$\begin{array}{l} F_{100,0,4}(43)-F_{100, Q}(23)=0,7632 \text { bzw. } \\ F_{100,0,2}(43)-F_{100,0,2}(23)=0,1891 \end{array}$
Bei einer weiteren Erhohung des Stichprobenumfangs werden die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler 2 . Art noch kleiner werden. Die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler 1. Art bleiben immer unter 5\%, weil das Signifikanzniveau dafur eine obere Grense ist.

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In Schulbüchern wird die Nullhypothese oft mit p = ... angegeben. Damit decken die Nullhypothese und die Alternativhypothese nicht den ganzen Bereich der Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1 ab.

Bei der Produktion von Taschenrechnern lag die Ausschussquote (fehlerhafte Geräte) bisher bei 2%. Aufgrund einer Produktionsumstellung soll geprüft werden ob sich die Ausschussquote signifikant verringert hat.

Warum sollte man hier die Nullhypothese mit p ≥ 0.02 angeben. Denn sie war eben nicht 0.03 oder 0.04.

Und bei der Produktionsumstellung geht man eben auch erst gar nicht davon aus dass sich die Ausschussquote vergrößert haben könnte.

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Daher formuliert das Buch die Nullhypothesen auch durchgehend so, wie in dieser Aufgabe.

Das ist doch nicht weiter schlimm. Für solche Bücher kann man doch leicht eine angemessene Herberge finden.

(Kleiner Tipp: die Wandfarbe ist blau.)