Bestimmen von a und g(x)

Question

Gegeben sei eine stetige Funktion f: R^2 -> R

Bestimmen Sie a und g(x), sodass

gilt.

Dann ist a=____ und g(y)=____

Wie berechne ich das?

Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{\frac{y}{2}} f(x, y) d x d y=\int \limits_{0}^{a} \int \limits_{g(x)}^{3} f(x, y) d y d x \)

Answer 1

Aloha :)

Beim linken Integral wird zuerst bei festgehaltenem \(y\) über \(dx\) integrierert:$$0\le y\le3\quad;\quad 0\le x\le\frac y2$$Im rechten Integral soll nun bei festgehaltenem \(x\) zuerst über \(dy\) integriert werden. Dazu überlegen wir uns, dass der größtmöglicher Wert für \(x\) bei \(y=3\) erreicht wird, daher ist:$$0\le x\le\frac32$$Der Wert für \(y\) ist durch \(3\) nach oben beschränkt. Multiplizieren wir die zweite Gleichung der ersten Zeile mit \(2\), also \(0\le2x\le y\) sehen wir, dass \(y\) durch \(2x\) nach unten beschränkt ist:$$2x\le y\le3$$

Damit haben wir gefunden:$$\int\limits_0^3\int\limits_0^{\frac y2}f(x;y)\,dx\,dy=\int\limits_0^{\frac32}\int\limits_{2x}^3f(x;y)\,dx\,dy$$Es ist also \(a=\frac32\) und \(g(x)=2x\).

Comments

Ich verstehe nicht ganz wie du oben auf

\(0\le y\le3\quad;\quad 0\le x\le\frac y2\)    kommst und auf die 2x

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Das folgt aus den Grenzen beim linken Integral. Die Integration über \(dx\) geht von \(0\) bis \(\frac y2\). Die Integration über \(dy\) geht von \(0\) bis \(3\).

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Ah okay und die 2x?

Diese Rechnung habe ich auch nicht so verstanden.

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Wenn du die Ungleichung$$0\le x\le\frac y2$$mit \(2\) multiplizierst, bekommst du:$$2\cdot0\le2\cdot x\le2\cdot\frac y2$$und hast damit:$$0\le2x\le y$$

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Ahh okay macht sinn, Dankeschöön!