Bestimmen Sie das Minimalpolynom von f.

Question

Aufgabe:

Sei f : R3 → R3 die lineare Abbildung, welche durch die Vorschrift
(1 )  --> ( 0.) ,     (1)  --> (1),     (0) -->(0)

(0 ) → ( 0. ) ,     (2)  → (2),     (1) -->(1)

(0 ) -->  (0.)  ,     (0)  → (0),      (1) -->(1)

auf der Basis (1 0 0),    (1 2 0). (0 1 1) gegeben ist. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von f.

Wie kommt man darauf, das f² = f gilt, so dass wir f² - f= 0 erhalten und   

letztenedlich, dass das Minimalpolynom ein Teiler von x^2 -x sein muss.

Lösung: MInimalpolynom x^2 -x

Comments

Wie kommt man darauf, das f^2 = f gilt

Mit Übung.

Man sieht, dass der 1. Basisvektor auf den Nullvektor geschickt wird. Der Nullvektor wird von jeder linearen Abbildung wieder auf den Nullvektor geschickt.

Also ist (f o f)(1. Basisvektor) = f(Nullvektor) = Nullvektor = f(1. Basisvektor)

Der 2. und 3. Basisvektor wird jeweils auf sich selbst geschickt. Also

(f o f)(2. Basisvektor) = f(2. Basisvektor)

(f o f)(3. Basisvektor) = f(3. Basisvektor)

Somit stimmen die linearen Abbildungen (f o f) und f auf einer Basis überein und sind folglich identisch. Also ist \( f^2 = f \implies f^2 - f = 0 \).

Eine Eigenschaft des MiPo von f ist, dass es jedes Polynom das f als Nullstelle hat teilt. Also muss das MiPo hier eben \( x^2 -x \) teilen.

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Kannst du mir den letzten Satz nochmal erläutern. Alles andere war verständlich. Danke!!

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Wenn du ein Polynom p hast, für das \( p(f) = 0 \) gilt. Also wenn du f einsetzt, kommt die Nullabbildung raus.

Dann teilt das Minimalpolynom von f dieses Polynom p.

In deinem Fall ist \( p = x^2 - x \). Es gilt \( p(f) = f^2-f = 0 \). Also teilt das Minimalpolynom von f das Polynom \( x^2 - x = x(x-1) \)

Die einzigen normierten Teiler von \( x^2 -x \) sind \( 1,x,x-1\) und \( x^2 - x\) selbst. Eins von diesen 4 Polynomen ist jetzt Minimalpolynom, wie ermanus richtig geschrieben hat hat f offenbar die Eigenwerte 0 und 1.

f(1. Basisvektor) = 0 * 1. Basisvektor

f(2. Basisvektor) = 1 * 2. Basisvektor

Jeder Eigenwert ist Nullstelle des Minimalpolynoms. Somit bleibt nur eines der 4 übrig.

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Okay, Danke vielmals!!

Answer 1

Offenbar ist \(t\) eine Projektion auf den Unterraum, der von \((1,2,0)\) und \((0,1,1)\)

aufgespannt wird. Für eine Projektion gilt grundsätzlich \(t^2=t\),

also ist das Minimalpolynom von \(t\) ein Teiler von \(t^2-t=t(t-1)\).

Da t die verschiedenen Eigenwerte 0 und 1 hat,

ist das Minimalpolynom \(=t(t-1)=t^2-t\).

Comments

Projektion heisst hierbei also, dass die Abbildung gleich wie die Basis ist?

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Hatte mich verschrieben, ist aber nun korrigiert.