Linearfaktorzerlegung eines Polynoms

Question

5. Geben Sie die Linearfaktorzerlegung des folgenden Polynoms \( p(z) \) in der Form \( p(z)=(z-a)(z-b)(z- \) c) an, sodass \( \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \) von Ihrem Absolutbetrag her aufsteigend geordnet sind, d.h. \( |\mathrm{a}|<|\mathrm{b}|<|c| \) gilt.

(1 Punkt)
\( p(z):=z^{3}+(i-1) z^{2}+(6-i) z-6 \)

Comments

Hallo,

ein Ansatz ist, eine Nullstelle zu raten und dann durch Polynomdivision den entsprechenden Linearfaktor abzuspalten. Für das Raten bieten sich zunächst die Teiler von 6 an. Findest Du darunter eine Nullstelle von p?

Gruß mathhilf

Answer 1

Du solltest sehen, dass z = 1 eine Nullstelle ist, weil die Summe der Koeffizienten genau 0 ist.

Damit kannst du eine Polynomdivision durch (z - 1) machen

z^3 + (i - 1)·z^2 + (6 - i)·z - 6 = (z - 1)·(z^2 + i·z + 6)

Jetzt brauchst du nur noch den quadratischen Term zerlegen. Entweder pq-Formel oder den Satz von Vieta benutzen.

z^3 + (i - 1)·z^2 + (6 - i)·z - 6 = (z - 1)·(z - 2·i)·(z + 3·i)

Answer 2

Für z=1 ist p(1)=0 also ist (z-1) ein Linearfaktor.

Wenn du dadurch dividierst bleibt

z^2 + i*z + 6

und das hat die Nullstellen -3i und 2i

also ist die Zerlegung

(z-1) * (z-2i) * (z+3i)

Answer 3

Lösungsmöglichkeit von  z^2 + i·z + 6=0

z^2 + i·z + 6=0|-6

z^2 + i·z =-6=6i^2

(z+\( \frac{i}{2} \))^2=6i^2+\( \frac{1}{4} \)*i^2=\( \frac{25}{4} \) i^2|\( \sqrt{} \)

1.)z+\( \frac{i}{2} \)=\( \frac{5}{2} \)i

z₁=2i

2.)z+\( \frac{i}{2} \)=-\( \frac{5}{2} \)i

z₂=-3i