Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, ihre Summe ist gerade. (Beweis durch Termumformungen)

Question

Aufgabe:

Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, ihre Summe ist gerade.

Beweise die Behauptung algebraisch durch geeignete Termumformungen.

Wie kann man das beweisen

Answer 1

Hallo

benutze, das 2 ungerade Zahlen die Form 2n+1 und 2m+1 haben mit n,m in ℤ

und dann einfach Summe und Produkt ausrechnen,

Gruß lul

Comments

Aber was ist genau der Beweis?

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Dass man Summe direkt ansieht, dass sie durch 2 Teilbar ist, weil jeder Summand durch 2 tb. ebenso Produkt ungerade,  weil gerade Zahl+1

lul

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Ja schon klar,aber weil man es durch Termumformungen beweisen soll.

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(2n+1)*(2m+1) = 4nm+2n+2m+1 = 2(2nm+n+m)+1

2n+1+2m+1 = 2(n+m+1)

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Aber was ist genau der Beweis?

... 'ne ziemlich gute Frage!

Die Voraussetzung ist, dass jede gerade Zahl $g \in \mathbb Z$ und jede ungerade Zahl $u \in\mathbb Z$ in folgender Form geschrieben werden kann:$$g = 2n, \space n \in \mathbb Z, \quad u = 2m+1, \space m \in \mathbb Z$$Und diese Darstellung ist eindeutig und umkehrbar (also bijektiv). D.h. es existiert keine Zahl $x \in \mathbb Z$, die sowohl in der einen und der anderen Form dargestellt werden kann.

Das Produkt zweier ungerader Zahlen $u_1=2m_1+1$ und $u_2=2m_2+1$ ist$$u_1 \cdot u_2 = 2(\underbrace{2m_1m_2+m_1+m_2}_{\in \mathbb Z}) +1 = 2k +1 \quad k \in \mathbb Z$$ergibt die Darstellung einer ungeraden Zahl (s.o.) und muss in Folge dessen ungerade sein.

Mit der Summe kann man genau so verfahren.