Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Daher ist im Allgemeinen
X * A ≠ A * X
und deshalb darf man auch nicht einfach aus jedem beliebigen Summenterm einen gemeinsamen Faktor ausklammern, sondern nur dann, wenn dieser Faktor in allen Summanden entweder ganz links oder ganz rechts steht. Man muss dan dementsprechend entweder nach links oder nach rechts ausklammern.
Aus dem gleichen Grunde dürfen Multiplikationen auch immer nur von links oder nur von rechts vorgenommen werden.
Und so funktioniert's:
A * X * A - B * X * A + B * X * C - A * X * C = D
[Ein wenig umsortieren, wegen des bessern Überblicks:]
<=> A * X * A - A * X * C - B * X * A + B * X * C = D
[Nun darf man aus den ersten beiden Summanden A und aus den beiden anderen Summeanden B jeweils nach links ausklammern: ]
<=> A * ( X * A - X * C ) - B ( X * A - X * C ) = D
[Aus diesen Summanden darf man nun ( X * A - X * C ) nach rechts ausklammern:]
<=> ( A - B ) * ( X * A - X * C ) = D
[Nun von links mit ( A - B ) -1 multiplizieren:]
<=> ( X * A - X * C ) = ( A - B ) -1 * D
[X nach links ausklammern:]
<=> X * ( A - C ) = ( A - B ) -1 * D
[und von rechts mit ( A - C ) -1 multiplizieren:]
<=> X = ( A - B ) -1 * D * ( A - C ) -1
und fertig!
