0 Daumen
3,4k Aufrufe
Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x) derjenigen ganzrationalen Funktion vierten Grades,  deren Graph bezüglich der y-Achse symmetrisch ist und bei x = 2 die Wendetangente t mit t(x)= -1 1/3x + 2 2/3 hat.

Bei dieser Aufgabe sollte eigentlich 1/48x^4 - 1/2x^2 + 1 2/3 rauskommen, allerdings komme ich auf diese Antwort nicht.

Meine Ansätze:
ax^4+cx^2+e ist die gesuchte Funktion, 4ax^3+2cx ist die erste Ableitung 12ax^2+2c die zweite
f (2) = 0
f''(2)= 0
-

Könnte mir bitte jemand mit dieser Aufgabe helfen? Schreibe in 3 Tagen einen Test und würde gerne wissen, wie man sowas rechnet...
Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

 

eine Funktion 4. Grades hat die allgemeine Form

f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Wenn deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, fallen alle ungradzahligen Exponenten weg, und die allgemeine Form vereinfacht sich zu

f(x) = ax4 + bx2 + c

Wir brauchen also 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten a, b und c.

Die Wendetangente

t(x)= -1 1/3x + 2 2/3 = -4/3x + 8/3

hat an der Stelle 2 den Wert

t(2) = -8/3 + 8/3 = 0

die Funktion f(x) natürlich auch, also

f(2) = 0 = 16a + 4b + c

Ferner ist an der Stelle x = 2 ein Wendepunkt, also ist dort die zweite Ableitung = 0:

f'(x) = 4ax3 + 2bx

f''(x) = 12ax2 + 2b

f''(2) = 0 = 48a + 2b

Und f(x) hat an der Stelle x = 2 den gleichen Anstieg wie die Wendetangente t(x), also -4/3:

f'(2) = -4/3 = 32a + 4b

Auflösen mit einem vernünftigen Taschenrechner oder per Gauß-Algorithmus ergibt

a = 0,020833333333... = 1875/90000 = 1/48

b = -0,5

c = 1,666666666666... = 15/9 = 5/3

Die gesuchte Funktion lautet also

f(x) = 1/48 * x4 - 0,5 * x2 + 5/3

 

Besten Gruß

Avatar von 32 k
Sehr gerne :-)

Viel Erfolg beim Test!!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community