Wie lautet der mathematisch korrekte Beweis?

Question

Aufgabe:

∀ x ∈ {r ∈ R : r ≥ 0} : | cos (2 x² ) (-1 + sin (√x)) | ≤ 2

Problem/Ansatz:

Wie lautet der mathematisch korrekte Beweis?

Answer 1

| cos (2 x² ) (-1 + sin (√x)) |

=  | cos (2 x² )| * | (-1 + sin (√x)) |

Und wegen | cos (2 x² )| ≤ 1

(Wertemenge von cos ist [-1;1] ) gilt

≤ | (-1 + sin (√x)) |   mit der Dreiecksungleichung

≤ | (-1) | + | sin((√x)) |  

=  1 + | sin((√x)) |

und da auch die Wertemenge von sin
das Intervall [-1;1] ist

≤ 1 + 1   = 2 .  q.e.d.