Differentialgleichung lösen mit geeigneter Definitions- und Wertemenge

Question

Aufgabe:

D

Differentialgleichung lösen

Problem/Ansatz:

Man gebe die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen für $f: T \rightarrow X$ mit geeigneten $T, X \subset \mathbb{R}$ an:
a) $f^{\prime}(t)=\frac{-t}{f(t)}$

Kann mir jemand einen Tipp geben, mit welchem Verfahren ich hier einmal anfangen könnte?

Answer 1

Hallo

Trennung der Variablen ydy=-tdt

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Hier kannst du eigentlich einfach integrieren:

$$\left.f'(t)=-\frac{t}{f(t)}\quad\right|\cdot f(t)$$$$\left.f(t)\cdot f'(t)=-t\quad\right|\text{Jede Seite für sich integrieren.}$$$$\left.\frac12\left[f(t)\right]^2+c_\ell=-\frac{t^2}{2}+c_r\quad\right|\text{Die Integrationskonstanten nach rechts.}$$$$\left.\frac12\left[f(t)\right]^2=-\frac{t^2}{2}+\left(c_r-c_\ell\right)\quad\right|\cdot2$$$$\left.\left[f(t)\right]^2=-t^2+2\left(c_r-c_\ell\right)\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.f(t)=\pm\sqrt{-t^2+2\left(c_r-c_\ell\right)}\quad\right.$$Da $c_r$ und $c_\ell$ Konstanten sind, kann man im Ergebnis $2(c_r-c_\ell)$ durch eine Konstante $c$ ersetzen:$$f(t)=\pm\sqrt{c-t^2}$$