Aloha :)
Ich versuche mal, das am Beispiel des 3-dimensionalen V=R3 zu verdeutlichen.
Du betrachtest einen Vektor v∈V aus dem Vektorraum V. Um die Lage von v zu beschreiben, baust du dir ein Koordinatensystem, bestehend aus einem Ursprung und den Basisvektoren b1, b2, b3 aus der Basis B. Du kannst den Vektor v nun als Linearkombination der Basisvektoren schreiben:v=λ1⋅b1+λ2⋅b2+λ3⋅b3=⎝⎛λ1λ2λ3⎠⎞Bund in Komponentendarstellung bezüglich der Basis B angeben.
Dein Kumpel Karl schaut sich denselben Vektor v∈V an. Er baut sich allerdings sein eigenes Koordinatensystem, bestehend aus demselben Ursprung wie du ihn hast, aber mit den Basisvektoren b1′, b2′, b3′ aus der Basis B′. In Karls Koordinatensystem hat der Vektor v die Darstellung:v=μ1⋅b1′+μ2⋅b2′+μ3⋅b3′=⎝⎛μ1μ2μ3⎠⎞B′
In deinem Koordinatensystem B und in Karls Koordinatensystem B′ hat der Vektor v andere Koordinaten, es ist in beiden Fällen aber exakt derselbe Vektor v.
Der Vektor v bleibt beim Wechsel der Basis von B nach B′ ungeändert, er ist in beiden Koordinatensystemen identisch. Er wird nicht verlängert oder verdreht. Daher bezeichnet man die Transformation, die alle Vektoren ungeändert lässt, und nur die Koordinaten des Vektors an eine andere Basis anpasst, als Identität-Abbildung.