wieso wird die Abbildung B - B' idv genannt?

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum und B = (...) B' = (....) geordnete Basen

wieso wird die Abbildung B -> B' idv genannt ?

Problem/Ansatz:

meine frage bezieht sich auf den artikel

Basiswechsel bei Abbildungsmatrize

https://www.biancahoegel.de/mathe/vektor/basiswechsel.html

sowie ich das verstanden habe, hängt es damit zusammen da wir in den selben Raum abbilden aber das ist doch nicht der einzige Grund oder?

Answer 1

Aloha :)

Ich versuche mal, das am Beispiel des 3-dimensionalen $V=\mathbb R^3$ zu verdeutlichen.

Du betrachtest einen Vektor $\vec v\in V$ aus dem Vektorraum $V$. Um die Lage von $\vec v$ zu beschreiben, baust du dir ein Koordinatensystem, bestehend aus einem Ursprung und den Basisvektoren $\vec b_1$, $\vec b_2$, $\vec b_3$ aus der Basis $B$. Du kannst den Vektor $\vec v$ nun als Linearkombination der Basisvektoren schreiben:$$\vec v=\lambda_1\cdot\vec b_1+\lambda_2\cdot\vec b_2+\lambda_3\cdot\vec b_3=\begin{pmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\end{pmatrix}_{\!B}$$und in Komponentendarstellung bezüglich der Basis $B$ angeben.

Dein Kumpel Karl schaut sich denselben Vektor $\vec v\in V$ an. Er baut sich allerdings sein eigenes Koordinatensystem, bestehend aus demselben Ursprung wie du ihn hast, aber mit den Basisvektoren $\vec b'_1$, $\vec b'_2$, $\vec b'_3$ aus der Basis $B'$. In Karls Koordinatensystem hat der Vektor $\vec v$ die Darstellung:$$\vec v=\mu_1\cdot\vec b'_1+\mu_2\cdot\vec b'_2+\mu_3\cdot\vec b'_3=\begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\end{pmatrix}_{\!B'}$$

In deinem Koordinatensystem $B$ und in Karls Koordinatensystem $B'$ hat der Vektor $\vec v$ andere Koordinaten, es ist in beiden Fällen aber exakt derselbe Vektor $\vec v$.

Der Vektor $\vec v$ bleibt beim Wechsel der Basis von $B$ nach $B'$ ungeändert, er ist in beiden Koordinatensystemen identisch. Er wird nicht verlängert oder verdreht. Daher bezeichnet man die Transformation, die alle Vektoren ungeändert lässt, und nur die Koordinaten des Vektors an eine andere Basis anpasst, als Identität-Abbildung.

Comments

Danke , leider finde ich nur auf Englisch solche Sachen und bin unsicher mit demverstndnis dann. Deswgen frage ich so hatte ich das auch verstand,, danke nochmal

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Meine letzte Frage wäre dann u1,u2,u3 sind dann die neuen Koordinaten? Bezüglich der Basis B‘

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Ja, genau. Ich habe die neuen Koordinaten extra mit $\mu$ bezeichnet, um sie von den anderen zu unterscheiden.

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okay danke, habe es verstanden :)

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Wenn ich eine Abbildung habe und eine Transformationsmatrix und ich die Koordinaten eines Vektors x als Parameter übergebe mit der Basis b1…

Und die Transformationsmatrix in eine andere Dimension abbildet, dann erhalte ich wieder Koordinatenmatrix.

Wieso kann ich dann x mithilfe der neuen Koordinatenmatrix der anderen Dimension bezüglich seiner Basis nicht mehr abbilden als linearkombination?

Answer 2

id soll erinnern an Identität.

Das ist also die Abbildung, die jedes

Element von V auf sich selbst abbildet.

Also id_V : V → V mit id_V(x) = x für alle x∈V.

Comments

Ja aber in welchem

Zusammenhang versteh ich das mit dem

Basiswechsel?

Ich habe eine Abbildung B -> B‘ , wobei gilt B,B sind Basen von V. Wir wollen einen basiswechsel machen. Das bedeutet wir haben eine A sogenannte Transformationsmatrix, die das macht.

Wir können am Ende jeden Vektor v in V bezüglich der basis B‘ schreiben.

Meine Frage ist wieso ist diese Abbildung idv, die könnte auch automorph oder endomoprh sein.

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Es geht doch darum, dass der gleiche Vektor v einmal

mit der einen und zum anderen mit der

anderen Basis dargestellt wird.

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Ja Aber die Koordinaten sind doch dann anders des Vektors oder spielt es keine Rolle wie Koordinaten am Ende aussehen ?

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Aber diese unterschiedlichen Koordinaten

gehören ja zum gleichen Vektor, je

nachdem mit welcher Basis man ihn darstellt.

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Danke habe es verstanden