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Auf dem \( \mathbb{R}^{3} \) sei eine symmetrische Bilinearform \( \beta: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( \beta\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right),\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)\right):=x_{1} y_{1}-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+2 x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3} \)

(a) Zeigen Sie, dass \( \beta \) positiv definit ist.

(b) Orthonormalisieren Sie die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \) bezüglich \( \beta \).

(c) Sei \( W:=<(1,-1,1)> \). Bestimmen Sie das orthogonale Komplement \( W^{\perp} \) von \( W \).

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Bevor gar nichts kommt, vielleicht wenigstens ein bisschen was:

zu a)

Schau dir dazu im Wikipedia-Artikel zur Definitheit

https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit

den ersten Absatz Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen an.

Dort findest du ( angepasst auf die Fomulierung deiner Aufgabe):

Eine symmetrische Bilinearform β : V x V -> R heißt positiv definit, falls für alle v ∈ V, v ≠ 0 gilt: β ( v , v ) > 0

Berechne also β ( v , v ) anhand der angegebenen Definition und zeige, dass der Wert des so entstehenden Ausdrucks für alle v ≠ 0 positiv ist: 

$$\beta (v,v)=\beta (({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },{ v }_{ 3 }),({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },{ v }_{ 3 }))$$$$={ v }_{ 1 }^{ 2 }-{ v }_{ 1 }{ { v }_{ 2 }-{ v }_{ 2 }{ v }_{ 1 }+2{ v } }_{ 2 }^{ 2 }+{ v }_{ 3 }^{ 2 }$$$$={ v }_{ 1 }^{ 2 }-{ 2v }_{ 1 }{ { v }_{ 2 }+{ v } }_{ 2 }^{ 2 }+{ v }_{ 2 }^{ 2 }+{ v }_{ 3 }^{ 2 }$$$$={ \left( { v }_{ 1 }-{ v }_{ 2 } \right)  }^{ 2 }+{ v }_{ 2 }^{ 2 }+{ v }_{ 3 }^{ 2 }>0$$Dieser Ausdruck ist als Summe von Quadraten für alle v i ∈ R größer oder gleich Null. Er ist genau dann echt größer als Null, wenn v nicht der Nullvektor ist. Also:$$\Leftrightarrow v\neq \vec { 0 }$$

q.e.d.

 

zu b)

Tipp: Gram-Schmidt-Verfahren.
Achtung: Dabei darfst du nicht das Standardskalarprodukt verwenden sondern die in Teil a) definierte Bilinearform β.
Noch ein Tipp: Erst orthogonalisieren, dann normalisieren.

Avatar von 32 k

hey danke für die schnelle Antwort :)

 

kann ich das einfach auf meine Aufgabe übertragen? weil ich ja 

x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2 + x3y3 habe

und wenn ich das genau so wie oben mache würde ja nicht (..)2 kommen oder?

also weil -x1y2 -x2y1 nicht (x1y2)ist.

weil -x1y2 -x2y1 nicht (x1y2)ist.

Das habe ich auch nirgends behauptet oder verwendet.

Allerdings ist 

-x1y2 =  -x2y1

und daher:

-x1y2 -x2y1= - 2 x1x2

Schau dir noch einmal genau an, wie ich β ( v , v ) ausgerechnet habe. Ich glaube, du hast dich irgendwo verlesen.

Im Übrigen ist meine Berechnung genau die, die für deine Beispielaufgabe durchzuführen ist.

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