Bevor gar nichts kommt, vielleicht wenigstens ein bisschen was:
zu a)
Schau dir dazu im Wikipedia-Artikel zur Definitheit
https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit
den ersten Absatz Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen an.
Dort findest du ( angepasst auf die Fomulierung deiner Aufgabe):
Eine symmetrische Bilinearform β : V x V -> R heißt positiv definit, falls für alle v ∈ V, v ≠ 0 gilt: β ( v , v ) > 0
Berechne also β ( v , v ) anhand der angegebenen Definition und zeige, dass der Wert des so entstehenden Ausdrucks für alle v ≠ 0 positiv ist:
$$\beta (v,v)=\beta (({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },{ v }_{ 3 }),({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },{ v }_{ 3 }))$$$$={ v }_{ 1 }^{ 2 }-{ v }_{ 1 }{ { v }_{ 2 }-{ v }_{ 2 }{ v }_{ 1 }+2{ v } }_{ 2 }^{ 2 }+{ v }_{ 3 }^{ 2 }$$$$={ v }_{ 1 }^{ 2 }-{ 2v }_{ 1 }{ { v }_{ 2 }+{ v } }_{ 2 }^{ 2 }+{ v }_{ 2 }^{ 2 }+{ v }_{ 3 }^{ 2 }$$$$={ \left( { v }_{ 1 }-{ v }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ v }_{ 2 }^{ 2 }+{ v }_{ 3 }^{ 2 }>0$$Dieser Ausdruck ist als Summe von Quadraten für alle v i ∈ R größer oder gleich Null. Er ist genau dann echt größer als Null, wenn v nicht der Nullvektor ist. Also:$$\Leftrightarrow v\neq \vec { 0 }$$
q.e.d.
zu b)
Tipp: Gram-Schmidt-Verfahren.
Achtung: Dabei darfst du nicht das Standardskalarprodukt verwenden sondern die in Teil a) definierte Bilinearform β.
Noch ein Tipp: Erst orthogonalisieren, dann normalisieren.
