Konvergenz gegen die Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Konvergenz gegen die Exponentialfunktion.
Gegeben sei das Anfangswertproblem
\( y^{\prime}=y+1, \quad y(0)=0 \)
mit exakter Lösung
\( y(x)=\mathrm{e}^{x}-1 \)
Sei \( x_{\text {end }}>0 \) beliebig. Wir verwenden eine konstante Schrittweite \( h=\frac{x_{\text {end }}}{N} \) mit einem \( N \in \mathbb{N} \). Die (endliche) Folge \( \left(y_{k}\right)_{k=0,1, \ldots, N} \) werde mit dem expliziten Euler-Verfahren berechnet. Zeigen Sie durch direktes Ausrechnen
\( \lim \limits_{N \rightarrow \infty} y_{N}=y\left(x_{\text {end }}\right) \)

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus! :)

Answer 1

Das Eulerverfahren ist definiert durch

$$ y_{k+1} = y_k + h (y_k + 1) $$ mit \( y_0 = 0 \).

Also \( y_1 = h = (1+h)-1\)

\( y_2 = (1+h)^2 - 1 \) und allgemein

$$ y_k = (1+h)^k - 1 = \left(1+\frac{x_{end}}{N} \right)^k - 1  $$

Damit gilt dann $$  y_N = \left( 1+\frac{x_{end}}{N} \right)^N - 1 $$

Weiter gilt $$  \lim_{N \to \infty} \left( 1+\frac{x_{end}}{N} \right)^N = e^{x_{end}} $$

In Summe also $$ \lim_{N \to \infty} y_N = e^{x_{end}}-1 $$

Comments

h=(1+h)− 1

Danke erstmal für deine Antwort!

Könntest du mir bitte erklären Wie du darauf kommst?

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Berechne \( y_2 \) und auch \( y_3 \)  dann siehst Du es.

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y₂ = h + h(h+1) = h+h² +h = 2h + h²

Wieso ist y2=(1+h)2−1 ?

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Binomischer Lehrsatz????

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https://www.mathelounge.de/877828/lokaler-diskretisierungsfehler-im-heun-verfahren

Könntest du mir bitte nur bei b) helfen?

Danke im Voraus!