Konvergenz gegen die Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Konvergenz gegen die Exponentialfunktion.
Gegeben sei das Anfangswertproblem
$y^{\prime}=y+1, \quad y(0)=0$
mit exakter Lösung
$y(x)=\mathrm{e}^{x}-1$
Sei $x_{\text {end }}>0$ beliebig. Wir verwenden eine konstante Schrittweite $h=\frac{x_{\text {end }}}{N}$ mit einem $N \in \mathbb{N}$. Die (endliche) Folge $\left(y_{k}\right)_{k=0,1, \ldots, N}$ werde mit dem expliziten Euler-Verfahren berechnet. Zeigen Sie durch direktes Ausrechnen
$\lim \limits_{N \rightarrow \infty} y_{N}=y\left(x_{\text {end }}\right)$

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus! :)

Answer 1

Das Eulerverfahren ist definiert durch

$$y_{k+1} = y_k + h (y_k + 1)$$ mit $y_0 = 0$.

Also $y_1 = h = (1+h)-1$

$y_2 = (1+h)^2 - 1$ und allgemein

$$y_k = (1+h)^k - 1 = \left(1+\frac{x_{end}}{N} \right)^k - 1$$

Damit gilt dann $$y_N = \left( 1+\frac{x_{end}}{N} \right)^N - 1$$

Weiter gilt $$\lim_{N \to \infty} \left( 1+\frac{x_{end}}{N} \right)^N = e^{x_{end}}$$

In Summe also $$\lim_{N \to \infty} y_N = e^{x_{end}}-1$$

Comments

h=(1+h)− 1

Danke erstmal für deine Antwort!

Könntest du mir bitte erklären Wie du darauf kommst?

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Berechne $y_2$ und auch $y_3$  dann siehst Du es.

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y₂ = h + h(h+1) = h+h² +h = 2h + h²

Wieso ist y2=(1+h)2−1 ?

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Binomischer Lehrsatz????

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https://www.mathelounge.de/877828/lokaler-diskretisierungsfehler-im-…

Könntest du mir bitte nur bei b) helfen?

Danke im Voraus!