Untersuchen Sie die folgenden Zahlenreihen schrittweise auf Konvergenz: ∑∞k=1 1/(4k^2 - 4)

Question

∑^∞_k=1 1 / (4k² - 4)

Nennen Sie jeweils das von Ihnen betrachtete Konvergenzkriterium und begründen Sie Ihr ergebnis !

 

Bestimmen Sie zudem den Grenzwert der Reihe.

 

Comments

Soll -4 noch unter dem Bruchstrich stehen?
Habe die Klammer entsprechend ergänzt.

---

Genau -4 steht unter dem Bruchstrich

Answer 1

$$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{4k^2-4k} = \frac{1}{4} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)(k+1)}$$

Jetzt eine Partialbruchzerlegung und dann

$$s_n = \frac{1}{8} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1} = \frac{1}{8} ( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - ... + \frac{1}{n-3} - \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{8} ( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$$

und

$$s_n \rightarrow \frac{3}{16} ~~(n \rightarrow \infty)$$

Das ist der Grenzwert.

Durch diese Rechnung durchzublicken ist eine gute Übung ;)

Comments

Wieso muss ich in dem Fall den Partialbruchzerlegunc anwenden ? Könnte ich vielleicht auch mit dem Quotientenkriterium den Grenzwert ausrechnen ?
Und danke dir :)

---

Keine Ursache ;) Mit dem Quotientenkriterium kann man keinen Grenzwert ausrechnen. Das dient einzig dazu, zu überprüfen, ob die Reihe überhaupt gegen irgendeinen Wert konvergiert, oder ob sie divergiert. Den Grenzwert bekommt man darüber aber nicht raus.

---

Aso stimmt :)
und darf ich für die Berechnung der Grenzwert jedesmal den Partialbruchzerlegung anwenden ? Oder gibt es noch andere besondere Kriterien ?

---

Das eigentlich nur die Ausnahme, dass es damit klappt. Für die wenigsten Reihen kann man den Grenzwert exakt berechnen. Bei konvergenten geometrischen Reihen allerdings immer. Das wäre solch ein "besonderes" Kriterium. Die Reihe oben ist aber keine geometrische Reihe. Ansonsten kann man zeigen, dass die Reihe konvergiert ( mit irgendeinem der Konvergenzkriterien ) und dann mit dem Taschenrechner oder Computer den Grenzwert annähern. Wenn in der Aufgabe aber "bestimmen" steht, ist gemeint, dass es einen Weg gibt, den Grenzwert exakt zu berechnen. Dann heisst es Suchen, Umformen, gucken ob irgendwas bekannt vorkommt... aber ein allgemeines Verfahren gibt es nicht.