Bestimmen Sie für die konvergenten Folgen auch den Grenzwert.

Question

Aufgabe:

an= \( \sqrt{n²+2n}-n \)   bn=\( \sqrt{n²+2n}-n² \)

cn= \( \sqrt{n²+2} \) -\( \sqrt{n²-1} \)   dn= n (\( \sqrt{5} \)- \( \sqrt{5-\frac{2}{n}} \) )

Problem/Ansatz:

Jeweils entscheiden ob gegebenen Folgen (a n ), (b n ), (c n ) und (d n ), konvergent, divergent, bestimmt
divergent gegen −∞, bestimmt divergent gegen ∞ oder unbestimmt divergent sind und
die Antwort begründen.
Bestimmen Sie für die konvergenten Folgen auch den Grenzwert.

Comments

Erweitere so, dass die 3. binomische Formel in Zähler entsteht!

Dann kürzen.

Answer 1

Als Beispiel \( a_n \)

$$ a_n = \frac{ \left( \sqrt{n^2+2n}-n \right) \left( \sqrt{n^2+2n}+n \right) } { \sqrt {n^2+2n}+n} = \frac{2n} { \sqrt {n^2+2n}+n } = \frac{2n} {n \left( \sqrt{1 + \frac{2}{n}} +1 \right)} = \frac{2} { \sqrt{1 + \frac{2}{n}} +1 } \to 1$$