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Aufgabe:

Es sein an und bn zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten a = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) an und b = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) bn in ℝ. Zeigen Sie:

a) Die Folge an + bn ist konvergent und besitzt den Grenzwert a + b.

b) Ist b ≠ 0 und bn ≠ 0 für alle n ∈ ℕ, dann konvergiert auch die Folge \( \dfrac{a_n} {b_n} \) und zwar gegen den Grenzwert \( \dfrac{a}{b} \).


Problem/Ansatz:

Also ich weiß schon mal was konvergent heißt: Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt. :D

Ich denke mein Problem liegt darin, dass es mit den Buchstaben für mich zu allgemein ist?

Generell hab ich mir bis jetzt schon ein paar Seiten/Videos zu dem Thema angesehen, komme aber auf keinen Ansatz der mir hilft. Auch wenn es für Andere eventuell ersichtlich ist. (Könnt ihr Bücher/Videos/Seiten empfehlen bzw. mir erklären wie ich vorgehen muss?)

von

1 Antwort

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Beste Antwort

a) Sei ε > 0.

Seien Na, Nb ∈ ℕ, so dass

        |a - an| < ½ε für alle n > Na,

        |b - bn| < ½ε für alle n > Nb.

Solche Na, Nb existieren aufgrund Definition Grenzwert.

Sei N = max({Na, Nb}).

Begründe, warum

        |(a+b) - (an+bn)| < ε für alle n > N

ist.

Tipp. Dreiecksungleichung.

b) wird nach dem gleichen Prinzip wie a) gelöst.

von 55 k 🚀

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