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Aufgabe:

Die Abbildung f: ℤ → ℤ * ℤ sei durch (n) = ((n-2)², n²) definiert. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) f ist Injektiv.

b) f ist Surjektiv.


Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich folgendes gerechnet:

1: (n-2)² = (m-2)²

2: n² = m²

1: n²-4n+4 = m²-4m+4 (wegen binomischen Formel).

1-2: -4n+4 = -4m+4 | -4

     -4n    =  -4m   | : (-4)

        n    =     m

Es ist deswegen injektiv. Aber wie rechne ich das bei b), weil da habe ich keine Ahnung

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Wie ist es denn mit \(f(?)=(-1,-1)\) ?

1 Antwort

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Aloha :)

$$f:\mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Z\;,\;f(n)=\binom{(n-2)^2}{n^2}$$

Zur Prüfung der Injektivität betrachten wir zwei gleiche Funktionswerte:$$f(n)=f(m)\implies\binom{(n-2)^2}{n^2}=\binom{(m-2)^2}{m^2}$$$$\phantom{f(n)=f(m)}\implies\binom{n^2-4n+4}{n^2}=\binom{m^2-4m+4}{m^2}$$Aus der zweiten Koordinatengleichung folgt \(n^2=m^2\), sodass wir aus der ersten Koordinatengleichung folgern können:$$n^2-4n+4=m^2-4m+4=n^2-4m+4\implies-4n=-4m\implies n=m$$Es gibt also nur ein eindeutiges Element \(n\) aus der Definitionsmenge, das auf \(f(n)\) abbildet. Die Abbildung ist injektiv.

Die Abbildung ist nicht surjektiv, denn in der Bildmenge \(\mathbb Z\times\mathbb Z\) gibt es den Punkt \(\binom{0}{-1}\), der wegen der Quadrate in der Abbildungsvorschrift nicht getroffen werden kann.

Avatar von 148 k 🚀

Das bedeutet also, weil die beiden Quadrate nicht die Punkte im negativen Bereich berühren können, z. B. (0, -1), sondern immer im positiven Bereich sind, kann es nicht surjektiv sein?

Genau! Surjektiv bedeutet ja, dass jedes Element aus der Zielmenge mindestens ein Mal getroffen wird. Du kannst mit dieser Abbildungsvorschrift aber niemals einen Punkt treffen, der eine negative Koordinate hat. Diese Punkte sind aber in der Zielmenge enthalten.

Ok danke. Und was ist mit ℤ * ℤ eigentlich gemeint bzw. kann ich dies nicht einfach als ℤ lesen?

Mit \(\mathbb Z\times\mathbb Z\) sind Tupel der Form \((z_1,z_2)\) gemeint, wobei beide Komponenten aus der Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb Z\) stammen müssen.

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