Die Formel für das Volumen V eines Rotationskörpers, der um die x-Achse rotiert, ist :
$$V=\pi \int _{ a }^{ b }{ { \left( f(x) \right) }^{ 2 } } dx$$
Der Integrand ist also das Quadrat der Randfunktionen des Körpers.
Löse also zunächst die Ellipsengleichung nach y 2 auf:
$$8{ x }^{ 2 }+9{ y }^{ 2 }=288$$$$\Leftrightarrow { y }^{ 2 }=\frac { 288-8{ x }^{ 2 } }{ 9 }$$
Die Parabelgleichung steht schon in dieser Form da:
$${ y }^{ 2 }=8x$$
Es ist nun in den Grenzen von 0 bis 3 über die Parabel und von 3 bis 6 über die Ellipse zu integrieren (man berechnet also 2 zusammengesetzte Rotationskörper), also:
$$V=\pi \int _{ 0 }^{ 3 }{ 8x } dx+\pi \int _{ 3 }^{ 6 }{ \frac { 288-8{ x }^{ 2 } }{ 9 } } dx$$$$=\pi \left( \int _{ 0 }^{ 3 }{ 8x } dx+\frac { 1 }{ 9 } \int _{ 3 }^{ 6 }{ 288-8{ x }^{ 2 } } dx \right) $$$$=\pi \left( { \left[ 4{ x }^{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 3 }+\frac { 1 }{ 9 } { { \left[ 288x-\frac { 8 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right] }_{ 3 }^{ 6 } } \right)$$$$=\pi \left( 36+\frac { 1 }{ 9 } { { \left[ 1152-792 \right] } } \right)$$$$=\pi \left( 36+40 \right)$$$$=76\pi$$
Das ist mein Ergebnis, welches sich von deinem doch ziemlich unterscheidet ...
