Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion f um die x -Achs

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion $f$ um die $x$-Achse zwischen $x=-1$ und $x=2$ entsteht, mit
$f(x)=\sqrt{x+2}$

Wäre als Lösung 3 Pi richtig?

Answer 1

Aloha :)

Bei der Rotation der Funktion $f(x)=\sqrt{x+2}$ um die $x$-Achse im Bereich $x\in[-1;2]$ entsteht an einer Stelle $x$ eine Kreisfläche. Ihr Mittelpunkt liegt auf der $x$-Achse und ihr Radius ist gleich dem Funktionswert $r=f(x)$. Die Größe dieser Kreisfläche ist daher $\pi\,r^2=\pi\cdot f^2(x)$. Dies Kreisflächen musst du nun für alle $x\in[-1;2]$ addieren:$$F=\int\limits_{-1}^2\pi\,f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_{-1}^2(x+2)\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^2=\pi\left(6-\left(-\frac32\right)\right)=\frac{15}{2}\,\pi$$

Answer 2

Wäre als Lösung 3 Pi richtig?

Nein. Du musst von x+2 erst mal eine Stammfunktion bilden, bevor du Grenzen einsetzt.

Comments

was genau wäre dann die lösung?

Answer 3

Allgemein: $V=π* \int\limits_{a}^{b}(f(x))^{2}*dx$

$V=π* \int\limits_{-1}^{2}(x+2)*dx=π*[\frac{x^2}{2} +2x] →π*[ 2 +4-(\frac{1}{2}-2)]=π*[ 6-\frac{1}{2}+2]=7,5*π$