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Aufgabe:

Aufgabe \( 2.2 \) (3+3+3+3P) Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
1. Für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) gilt, dass \( x^{2}+x y+y^{2} \geq 0 \). Hinweis: Quadratergänzung.
2. Ist \( x^{3}=y^{3} \) für \( x, y \in \mathbb{R} \), so ist \( x=y . \) Benutzen Sie dafür die vorige Teilaufgabe. Sie dürfen den Begriff der kubischen Wurzel (oder Eigenschaften davon) nicht anwenden.
3. Es gibt keine ganzen Zahlen \( m, n \in \mathbb{Z} \) mit \( 8 m+26 n=1 \).
4. \( \log _{2} 3 \) ist nicht rational.


Problem:

Bin neu im Studium und verstehe es leider nicht

Kann mir jemand helfen

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Zu 2. benutze die Tatsache, dass

\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) ist.

2 Antworten

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1.  x^2+xy+y^2≥0

(x+\( \frac{y}{2} \))^2≥\( \frac{y^2}{4} \)|\( \sqrt{} \)

1.)x+\( \frac{y}{2} \)≥\( \frac{y}{2} \)

x₁≥0

2.)x+\( \frac{y}{2} \)≥-\( \frac{y}{2} \)

x₂≥-y

Avatar von 36 k

Manche Fragesteller verhalten sich wie Leute, die sich zu einem Marathon-Lauf angemeldet haben und schon nach 100m ein Taxi rufen, das sie ins Ziel bringen soll.

Und manche Antwortgeber geben sich als Taxifahrer aus, obwohl sie keinen Führerschein haben.

Vielen Dank für deine Hilfe :) @moliets

@Gast hj2166:

Gebe bitte die korrekte Antwort.

@Moliets: Der Imperativ Singular von geben heißt "gib".

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Hier noch ein Taxi für die Strecke 1:

ich benutze nicht den (uneleganten) Hinweis ...

1. Fall: \(xy\geq 0\Rightarrow x^2+xy+y^2\geq 0\)

2. Fall: \(xy< 0\). Dann

\((x+y)^2\geq 0\gt xy\Rightarrow x^2+2xy+y^2\gt xy\Rightarrow x^2+xy+y^2>0\).

Avatar von 29 k

Addition der beiden (ohne Fallunterscheidung stets) nichtnegativen Quadrate
(x/2*√3)^2 und (x/2 + y)^2 liefert die gewünschte Aussage.

Auch ein schönes Taxi ;-)

@Gast hj2166: Hast du denn auch eine so schöne

Quadratsummenlösung, die ganz in \(\mathbb{Q}\)

stattfindet (oder in einem beliebigen angeordneten Körper) ?

Habe selbst eine gefunden:

\(x^2+xy +y^2=1/2(x^2+y^2+(x+y)^2)\geq 0\)

Danke euch :)

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