Beweis Lineare Algebra

Question

Aufgabe:

Aufgabe $2.2$ (3+3+3+3P) Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
1. Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ gilt, dass $x^{2}+x y+y^{2} \geq 0$. Hinweis: Quadratergänzung.
2. Ist $x^{3}=y^{3}$ für $x, y \in \mathbb{R}$, so ist $x=y .$ Benutzen Sie dafür die vorige Teilaufgabe. Sie dürfen den Begriff der kubischen Wurzel (oder Eigenschaften davon) nicht anwenden.
3. Es gibt keine ganzen Zahlen $m, n \in \mathbb{Z}$ mit $8 m+26 n=1$.
4. $\log _{2} 3$ ist nicht rational.

Problem:

Bin neu im Studium und verstehe es leider nicht

Kann mir jemand helfen

Comments

Zu 2. benutze die Tatsache, dass

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ ist.

Answer 1

1.  x²+xy+y²≥0

(x+$\frac{y}{2}$)^2≥$\frac{y^2}{4}$|$\sqrt{}$

1.)x+$\frac{y}{2}$≥$\frac{y}{2}$

x₁≥0

2.)x+$\frac{y}{2}$≥-$\frac{y}{2}$

x₂≥-y

Comments

Manche Fragesteller verhalten sich wie Leute, die sich zu einem Marathon-Lauf angemeldet haben und schon nach 100m ein Taxi rufen, das sie ins Ziel bringen soll.

Und manche Antwortgeber geben sich als Taxifahrer aus, obwohl sie keinen Führerschein haben.

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Vielen Dank für deine Hilfe :) @moliets

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@Gast hj2166:

Gebe bitte die korrekte Antwort.

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@Moliets: Der Imperativ Singular von geben heißt "gib".

Answer 2

Hier noch ein Taxi für die Strecke 1:

ich benutze nicht den (uneleganten) Hinweis ...

1. Fall: $xy\geq 0\Rightarrow x^2+xy+y^2\geq 0$

2. Fall: $xy< 0$. Dann

$(x+y)^2\geq 0\gt xy\Rightarrow x^2+2xy+y^2\gt xy\Rightarrow x^2+xy+y^2>0$.

Comments

Addition der beiden (ohne Fallunterscheidung stets) nichtnegativen Quadrate
(x/2*√3)² und (x/2 + y)² liefert die gewünschte Aussage.

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Auch ein schönes Taxi ;-)

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@Gast hj2166: Hast du denn auch eine so schöne

Quadratsummenlösung, die ganz in $\mathbb{Q}$

stattfindet (oder in einem beliebigen angeordneten Körper) ?

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Habe selbst eine gefunden:

$x^2+xy +y^2=1/2(x^2+y^2+(x+y)^2)\geq 0$

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Danke euch :)