Aloha :)
Du musst prüfen, ob der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert.
zu a) \(f(x)=-|x|\) ist bei \(x=0\) nicht differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\lim\limits_{h\to0}=\frac{-|h|-0}{h}=-\lim\limits_{h\to0}\frac{|h|}{h}$$Wir führen eine Fallunterscheidung für \(h>0\) und \(h<0\) durch:$$\lim\limits_{h\searrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=-\lim\limits_{h\searrow0}\frac{|h|}{h}\stackrel{(h>0)}{=}-\lim\limits_{h\searrow0}\frac{h}{h}=-\lim\limits_{h\searrow0}1=-1$$$$\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=-\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{|h|}{h}\stackrel{(h<0)}{=}-\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{-h}{h}=\lim\limits_{h\nearrow0}1=1$$Wir können also für \(x=0\) keinen eindeutigen Grenzwert des Differenzenquotienten angeben.
Die Funktion \(f\) ist daher bei \(x=0\) nicht differenzierbar.
zu b) \(f(x)=-x|x|\) ist bei \(x=0\) differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\lim\limits_{h\to0}=\frac{-h|h|-0}{h}=-\lim\limits_{h\to0}|h|=0$$Da der Grenzwert exisitert, ist \(f\) bei \(x=0\) differenzierbar und es gilt \(f'(0)=0\).
